Законы теории множеств

Основные законы теории множеств

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 1831 ; Нарушение авторских прав

1. Закон двойного дополнения:

2. Закон коммутативности:

3. Закон ассоциативности:

4. Закон дистрибутивности:

5. Закон идемпотентности:

6. Закон Д’Моргана:

7. Законы пустого и универсального множества:

8.

9. Законы поглощения:

Пример:

1)

Если х Î , тогда Þ х Î А или х Î Þ х Î А или (х Î В и х Î С) Þ

(х Î А или х Î В) и (х Î А или х Î С) Þ х Î

2) Аналогично образом доказывается в обратную сторону:

life-prog.ru

Законы теории множеств

· Коммутативный, или переместительный, закон:

А В = В А, А В = В А.

Объединение (пересечение) отличников и спортсменов равно объединению (пересечению) спортсменов и отличников.

· Ассоциативный, или сочетательный, закон:

(А В) С = А (В С) = А В С,

(А В) С = А (В С) = А В С.

От изменения порядка объединения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.

· Дистрибутивный, или распределительный, закон:

(А В) С = (А С) (В С),

(А В) С = (А С) (В С).

А А = А, А А = А.

Объединение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов даёт множество спортсменов.

А (А В) = А, А (А В) = А.

Объединение отличников с пересечением отличников и спортсменов даёт множество отличников.

Пересечение отличников с объединением отличников и спортсменов даёт множество отличников.

· Закон де Моргана:

Ø(А В) = ØВ ØА, Ø(А В) = ØВ ØА.

Дополнение объединения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников.

Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно объединению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников.

· Закон двойного дополнения:

Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов.

А ØА = Æ.

Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, если в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.

· Закон исключённого третьего:

А ØА = Е, где Е – множество-универсум.

Объединение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены из универсума, то это объединение как раз и составляет весь универсум.

Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

1) По условию: 250 абитуриентов – всего.

По условию: 210 абитуриентов – выдержали экзамен, т.е. получили (5 или 4 или 3).

40 = 250 – 210 – не выдержали экзамен, т.е. получили 2.

2) По условию: 180 абитуриентов – получили оценку ниже 5, т.е. (4 или 3 или 2).

3) 180 – 40 = 140 (абитуриентов) – получили (4 или 3).·

В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах и на коньках?

Рис. 11. К решению задачи 4. Тёмно-серым обозначено Ø(А В) = Е \ (А В)

1) Пусть А = 1250 — «умеют кататься на лыжах», т.е.

«только на лыжах + и на лыжах и на коньках».

2) Пусть В = 952 — «умеют кататься на коньках», т.е.

«только на коньках + и на лыжах и на коньках».

3) Обратимся к рисунку 11, на котором ситуация изображена в виде диаграммы Эйлера-Венна.

По условию задачи: Е = 1400 — «всего учеников»,

Ø(А В) = 60 — «не умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках».

Ø(А В) = Е \ (А В) = Е – (А В), отсюда имеем: (А В) = Е – (Ø(А В)),

получаем: (А В) = 1400 – 60 = 1340 — «умеют кататься». (1)

4) умеют кататься = только на лыжах + только на коньках + и на лыжах и на коньках,

где «и на лыжах и на коньках» = (А В) (2) (см. рис. 11),

умеют кататься = (только на лыжах + и на лыжах и на коньках) +

+ (только на коньках + и на лыжах и на коньках) – и на лыжах и на коньках (3)

5) «только на лыжах + и на лыжах и на коньках» = А, (4)

«только на коньках + и на лыжах и на коньках» = В, (5) (см. рис. 11)

6) Подставим (4) и (5) в (3): «умеют кататься» = А + В – и на лыжах и на коньках (6),

подставим (1) и (2) в (6): (А В) = А + В – (А В).

7) Имеем: (А В) = А + В – (А В).

Заменим числовыми величинами:

1340 = 1250 + 952 – (А В),

(А В) = 1250 + 952 – 1340 = 862 — «умеют кататься и на лыжах и на коньках».·

studopedia.ru

Законы теории множеств

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М=1,X2, . Xn> совокупность n множеств X1,X2, . Xn, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

  • X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
  • (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Частный случай: кортеж длины 1 —

кортеж длины 0 — или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1, . an) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Пример 2. Пусть X= , Y=

Тогда X*Y= < , , , , , >См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

Прямое произведение множеств X1, X2, . Xn — это множество, обозначаемое X1*X2*. *Xn и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X1, вторая — X2 и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X1*X2*. *Xn = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X1, X2, . Xn является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M s =M*M*. *M, M 1 =M, M 0 =∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Тогда A*B =1, a2, a3, . h7, h8> — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества an называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A * = ∪A i = A 1 ∪A 2 ∪A 3 . . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Очевидно что если М=Х*Y то Пр1М=Х, Пр2М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр1Q⊆Х и Пр2Q⊆Y

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

В общем случае ПрiV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

victor-safronov.ru

Множества и операции над множествами

Что такое множества, где и как они применяются

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: «Множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами — реляционная алгебра и её операции — используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины «Солнышко», «Ветерок», «Огонёк», а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком «плюс»: A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества — объекты нашей интуиции или интеллекта — могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

— натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, .

— чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в соответствующем параграфе этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество — это «мешок с элементами». Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество — это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M — множество, а a — его элемент, то пишут: aM , что означает » a принадлежит множеству M«.

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

что означает: элемент «hleb» принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине «VETEROK».

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p(x) — некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = <x | p(x)> обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p(x) истинно. Это выражение читается так: «Множество M , состоящее из всех таких x , что p(x) «.

означает множество корней уравнения x² — 3x + 2 = 0 , т. е. множество <1, 2>. Это конечное множество.

А следующим описанием задаётся множество всех целых чисел больше 5:

это множество является бесконечным.

Описанием предпочтительно задавать и конечные множества, в которых очень много элементов, например, множество всех натуральных чисел от 2 до 22³ :

Пример 9. Если , то что такое ? Что такое ? Что такое ? Что такое ?

Решение. Итак, множество А строго включено в множество В . Или, как на диаграмме Венна:

Объединение множеств состоит из тех и только из тех элементов, которые есть или в А или в В. Поскольку все элементы множества А идентичны части элементов множества В:

,

или, что то же самое

но ,

следовательно, если , то .

Пересечение множеств состоит из тех и только из тех элементов, которые есть и в А, и в В. То есть,

,

.

следовательно, если , то .

Разность множеств состоит из тех и только из тех элементов, которые есть в А, но которых нет в В. То есть,

. Дубликаты отбрасываются.

следовательно, если , то .

Разность множеств состоит из тех и только из тех элементов, которые есть в В, но которых нет в А. То есть,

. И, как уже показано, .

Следовательно, если , то .

Пример 10. Даны множества , . Найти и . Равны ли перемножаемые множества?

Решение. Найдём декартово произведение двух множеств. Можем так же пользоваться рисунком дерева из теоретической части, но в случае двух множеств маршрутов для составления упорядоченных наборов будет меньше. Получаем:

Для нахождения множества всех подмножеств полученное множество не совсем удобно: оно само состоит из двухэлементных множеств, в которых можно быстро запутаться. Поэтому выполним следующие присваивания:

, , , .

Теперь будет проще найти множество всех подмножеств:

Очевидно, что .

Найдём . Множество всех подмножеств:

.

Таким образом, .

Найдём . Множество всех подмножеств:

.

Таким образом, , .

Перемножаемые множества имеют равные размеры, но они не равны, так как состоят из разных элементов.

Пример 11. Упростить выражения.

.

Решение. Используя законы де Моргана, получаем:

.

.

Решение. Выражение во внутренних скобках уже упрощено в предыдущей части примера. Подставляем его и далее используя законы де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения, получаем:

.

.

Решение. Упростим выражение в первых внутренних скобках, используя законы де Моргана и закон о двойном отрицании:

Из этого, используя законы об универсуме, пустом множестве и двойном отрицании, получаем:

function-x.ru

Дополнение (теория множеств)

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Содержание

Разность множеств Править

Определение Править

Разность множества A и множества B — множество, содержащее в себе элементы множества А, но не B.

Пусть даны два множества $ A $ и $ B $ . Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

Примеры Править

  • Пусть $ A = \<1,2,3,4\>,\; B = \ <3,4,5,6,7\>$ . Тогда $ A \setminus B = \<1,2\>,\; B \setminus A = \<5,6,7\>. $
  • Пусть $ \mathbb $ — множество всех вещественных чисел, $ \mathbb $ — множество рациональных чисел, а $ \mathbb $ — множество целых чисел. Тогда $ \mathbb\setminus\mathbb $ — множество всех иррациональных чисел, а $ \mathbb\setminus \mathbb $ — дробных.

Свойства Править

Пусть $ A,B,C $ — произвольные множества. Тогда

  • $ C \setminus (A \cap B ) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B); $
  • $ C \setminus (A \cup B ) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B); $
  • $ C \setminus( B \setminus A ) = (A \cap C) \cup (C \setminus B); $
  • $ (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A); $
  • $ (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C); $
  • $ A \setminus A = \emptyset; $
  • $ \emptyset \setminus A = \emptyset; $
  • $ A \setminus \emptyset = A. $

Компьютерные реализации Править

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement . В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff .

Дополнение множества Править

Определение Править

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества $ X $ , то определяется операция дополнения:

Свойства Править

  • Операция дополнения является унарной операцией на булеане $ 2^X. $
  • Законы дополнения:
  • $ A \cup A^ <\complement>= X; $
  • $ A \cap A^ <\complement>= \emptyset; $

В частности, если оба $ A $ и $ A^ <\complement>$ непусты, то $ \left\\right\> $ является разбиением $ X $ .

  • $ X^ <\complement>= \emptyset; $
  • $ \emptyset^<\complement>=X; $
  • $ (A \subset B) \Leftrightarrow \left(B^ <\complement>\subset A^<\complement>\right). $
  • Операция дополнения является инволюцией:

$ \left(A^<\complement>\right)^ <\complement>= A. $

  • Законы де Моргана:
  • $ (A \cup B)^ <\complement>= A^ <\complement>\cap B^<\complement>; $
  • $ (A \cap B)^ <\complement>= A^ <\complement>\cup B^<\complement>. $
  • Законы разности множеств:
  • $ A \setminus B = A \cap B^<\complement>; $
  • $ (A \setminus B)^ <\complement>= A^ <\complement>\cup B. $

См. также Править

Эта статья содержит материал из статьи Дополнение (теория множеств) русской Википедии.

ru.math.wikia.com

Смотрите так же:

  • Жалоба на судоисполнителей Куда жаловаться на судебных приставов? Куда жаловаться на судебных приставов – такой вопрос нередко возникает у граждан, пытающихся вернуть долги при помощи судебных приставов-исполнителей. Конечного результата от приставов можно ждать […]
  • Следственный комитет комсомольск на амуре Комсомольский-на-Амуре следственный отдел на транспорте Адрес: 681013, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Красногвардейская, 34 Телефон: тел/факс 8 (4217) 54-36-88 Руководитель: Кутиков Дмитрий Сергеевич Заместитель […]
  • Закон кирхгофа спектральная плотность Закон Кирхгофа Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной […]
  • Самые маленький налоги в мире Страны с низкой и нулевой ставкой подоходного налога Порядок взимания налога на доходы физических лиц имеет свои особенности в каждой конкретной стране. В некоторых странах ставка подоходного налога для всех одинакова вне зависимости от […]
  • Как написать претензию в налоговую Жалоба на бездействие налоговой инспекции: образец Актуально на: 13 июля 2017 г. Жалоба на бездействие налогового органа (образец) Если плательщик считает, что налоговики бездействовали в то время, когда должны были действовать, и из-за […]
  • Получение субсидии по смерти Порядок оформления пособия на погребение Смерть близкого человека еще никогда не приносила радости. Но, как бы ни было плохо, необходимо всегда знать о том, как получить пособие на погребение? Кто может получить эту выплату? Кто […]

Обсуждение закрыто.