Закон био-савара-лапласа для магнитной индукции элемента тока

Закон био-савара-лапласа для магнитной индукции элемента тока

  • Главная
  • Категории новостей
  • Обратная связь
  • Поиск

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.

Любой движущийся заряд создает вокруг себя магнитное поле. Установлено, что индукция магнитного поля В, создаваемая точечным зарядом q, движущимся в вакууме с постоянной скоростью v, равна

(3.9)

где r — радиус вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения, m0 — константа, называемая магнитной постоянной. Формула (3.9) справедлива для нерелятивистских скоростей, когда v -7 Гн/м (генри на метр) 1 ; r — представляет собой вектор, проведенный от элемента dl в точку наблюдения А.

На рис. 3.4 выполнено построение, поясняющее правило нахождения направления вектора . Через вектор dl проведена ось ОО’, продолжающая его направление. Из точки наблюдения А опущен перпендикуляр на ось ОО’. Этот перпендикуляр использован как радиус для проведения окружности вокруг оси ОО’. Эта окружность по своему построению проходит через точку А, а плоскость окружности перпендикулярна оси ОО’. Искомый вектор индукции будет направлен по касательной к этой окружности в точке А. Можно сказать, что линии индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока dl в окружающем пространстве, представляют собой совокупность окружностей, с центрами на оси ОО’. Индукция как бы циркулирует по этим окружностям. Направление циркуляции связано правилом правого винта с направлением тока в элементе dl. Правило правого винта формулируется следующим образом: если правый винт вворачивать так, чтобы его поступательное перемещение совпадало с направлением тока в элементе dl, то направление вращения головки винта укажет направление циркуляции индукции dВ вокруг оси тока.

Модуль вектора удобно вычислять по формуле

(3.11)

где a — угол между векторами dl и r.

fizika-student.ru

Закон био-савара-лапласа для магнитной индукции элемента тока

§2. Закон Био – Савара – Лапласа

В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

– магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;
– магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;
– во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу. Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция B → \vec в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций Δ B → i \Delta \vec_i магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока):

Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей. Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза. Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током 2 I 2I можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами I I в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

Рассмотрим поле сколь угодно длинного прямолинейного провода с током. Пользуясь законом Био – Савара – Лапласа, нетрудно догадаться, что силовые линии магнитного поля будут представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси провода. Центры окружностей будут на оси провода. Величина индукции поля должна убывать с увеличением расстояния до провода. Направление силовых линий определяется по правилу буравчика, остриё которого в данном случае удобно направить по току. На рис. 5 ток в проводе направлен перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа и обозначен крестиком.

В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

zftsh.online

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I , элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

(110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r —радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r . Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

(110.2)

где a — угол между векторами dl и r .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

(110.3)

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R , векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r , и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(110.4)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p , то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору ( sin a =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

www.pppa.ru

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

.

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

— магнитная постоянная;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ0 — магнитная постоянная; r,r0 — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

energetik.com.ru

6.1. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био — Савара — Лапласа

Магнитная стрелка — не только прибор, регистрирующий внешнее магнитное поле, она сама является маленьким магнитом, создающим свое собственное поле. Значит, и виток с током должен создавать свое собственное магнитное поле, подобное полю стрелки. Следовательно, любой электрический ток в проводнике создает вокруг него магнитное поле. В частности, такое поле должен создавать движущийся электрический заряд.

Сейчас мы попробуем угадать, какое магнитное поле порождается зарядом q, движущимся со скоростью v (рис. 6.6). Отправной точкой нам послужит аналогия между электрическими и магнитными явлениями. Вспомним то, что мы уже знаем. Чтобы получить силу, действующую на заряд в электростатическом поле, мы умножаем величину заряда на вектор напряженности поля

Рис. 6.6. Магнитное поле движущегося заряда

Чтобы получить силу Лоренца, действующую со стороны магнитного поля на движущийся заряд, мы тоже производим операцию умножения: векторно умножаем на магнитную индукцию

Применим тот же прием для угадывания магнитного поля движущегося заряда.

Электрическое поле покоящегося точечного заряда равно

Заменим q на вектор , электрическое поле — на магнитное, а операцию обычного умножения — на векторное умножение. Получаем

Мы не поставили здесь знака равенства, так как у нас не все в порядке с размерностью в левой и правой частях уравнения. Из выражения для силы Лоренца следует, что размерность магнитной индукции равна

Размерность же правой части уравнения равна

Чтобы размерности обеих частей совпали, правую часть надо разделить на квадрат какой-то скорости. Скорость частицы у нас уже использована, и остается единственная возможность — фундаментальная физическая постоянная, скорость света с

online.mephi.ru

Смотрите так же:

  • Следственный комитет комсомольск на амуре Комсомольский-на-Амуре следственный отдел на транспорте Адрес: 681013, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Красногвардейская, 34 Телефон: тел/факс 8 (4217) 54-36-88 Руководитель: Кутиков Дмитрий Сергеевич Заместитель […]
  • Новомосковский городской суд Новомосковский городской суд 301650, Тульская область, Новомосковский район, г. Новомосковск, улица Комсомольская, д. 32/32 +7 (48762) 2-71-50 301650, Тульская область, Новомосковский район, г. Новомосковск, ул. Комсомольская, д. 34 +7 […]
  • Нпф солнце жизнь и пенсии в челябинске НПФ «Ренессанс жизнь и пенсии» лишился лицензии: что дальше НПФ «Ренессанс Жизнь и пенсии» – Негосударственный пенсионный фонд, который с февраля 2015 года получил название «Солнце. Жизнь. Пенсия». Он пользовался достаточно большой […]
  • Нотариус в волгограде ворошиловский район Нотариус Волгоград Ворошиловский район. Список Нотариальные конторы необходимы для заверения документов, хранения ценных бумаг, удостоверения того, что клиент на момент совершения определенных сделок не состоит в браке и многих других […]
  • Нотариус октябрьский район иваново Нотариус Иваново - адреса, режим работы Двадцать одна нотариальная контора ведет деятельность на сегодняшний день в городе Иваново (Ивановский городской нотариальный округ). Список нотариусов Иваново не меняется с 2012 года, отзыве были […]
  • График работы нотариуса в калуге Нотариусы в Калуге - адреса и график работы По состоянию на текущий момент в Калуге работают 15 нотариусов, в строго выделенных для них районах деятельности. Нотариусы ведут наследственные дела в Калуге, заверяют документы и проводят […]

Обсуждение закрыто.