Решение системы уравнений правилом крамера

Правило Крамера. Метод обратной матрицы

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!

Решение системы по формулам Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Решить систему линейных уравнений

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

;

Ответ: ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Решить систему по формулам Крамера.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.









Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Крамера, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Крамера

  • В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
  • Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
  • Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
  • Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x 1 — 7 x 2 — x 4 = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Крамера

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
  • Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

ru.onlinemschool.com

Решение системы уравнений правилом крамера

При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Теорема Крамера

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \[ a_<11>x_1+a_<12>x_2=b_1, \quad \quad(17) \] \[ a_<21>x_1+a_<22>x_2=b_2, \quad \quad(18) \]

числа \(a_, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_<22>\) и вычтем второе, умноженное на \(a_<12>\), получим:

Если второе уравнение умножить на \(a_<11>\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_<21>\), получим: \[ x_2=\fracb_2-a_<21>b_1>a_<22>-a_<21>a_<12>>. \quad \quad(20) \]

Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right), \] столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 \\b_2 \end \right). \]

Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом: \[ x_1=\frac, x_2=\frac, \quad \quad(21) \] где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_<11>x_1+a_<12>x_2+ . +a_<1n>x_n=b_1, \quad \quad(22) \] \[ a_<21>x_1+a_<22>x_2+. +a_<1n>x_n=b_2, \quad \quad(23) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_n. \quad \quad(24) \]

Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>&\ldots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>&\ldots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_ &a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) , \] образуем столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 & b_2 & \ldots &b_n \end \right)^T. \]

Cправедливо следующее утверждение.

Теорема Крамера. Пусть \(detA \neq 0\). Тогда система уравнений (22)-(24) имеет единственное решение, которое описывается формулами: \[ x_k=\frac, k=1,2. n, \quad \quad(25) \] где матрица \(C_k\) получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k-\)го столбца столбцом \(B\).

Cоотношения (25) называются правилом Крамера.

В том случае, когда матрица коэффициентов системы уравнений невырождена, для построения решений системы можно использовать обратную матрицу.

Уравнения (22)-(24) можно записать в более экономичном виде \[ \sum _^na_x_m=b_k, k=1,2. n. \quad \quad(26) \]

Далее, введем столбец неизвестных \(X=(x_1,x_2. x_n)^T\), тогда в левой части соотношения (26) можно опознать матричное умножение, так что систему уравнений (26) можно записать в наших матричных терминах в виде матричного уравнения, \[ AX=B, \quad \quad(27) \] решение которого уже описано ранее в терминах обратной матрицы: \[ X=A^<-1>B. \]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий: матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.

Решить системы методом Крамера и методом обратной матрицы.

а) \[ x_1+x_2+2x_3=-1, \] \[ 2x_1-x_2+2x_3=-4, \] \[ 4x_1+x_2+4x_3=-2. \]

б) \[ 3x_1+2x_2+x_3=5, \] \[ 2x_1+3x_2+x_3=1, \] \[ 2x_1+x_2+3x_3=11. \]

в) \[ 2x_1+x_2-x_3=2, \] \[ 3x_1+x_2-2x_3=3, \] \[ x_1+x_3=3. \]

publish.sutd.ru

Решение системы уравнений правилом крамера

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

относительно переменных х и у.
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей.:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у.
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы :

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у.
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы :

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы :

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

kontromat.ru

Смотрите так же:

  • Пособия по рисованию для детей Детские развивающие игры, уроки, поделки Игры для детей, поделки, аппликации, оригами, раскраски, рецепты. Учебник по рисованию для детей Изобразительное искусство Книжная полка Наше новое приобретение - учебник по рисованию для первого […]
  • Жалоба на судоисполнителей Куда жаловаться на судебных приставов? Куда жаловаться на судебных приставов – такой вопрос нередко возникает у граждан, пытающихся вернуть долги при помощи судебных приставов-исполнителей. Конечного результата от приставов можно ждать […]
  • Правила монастырской жизни Правила поведения в монастыре — 15 монастырских правил Правила поведения в монастыре — 15 монастырских правил Следуя 43 правилу VI Вселенского Собора, поступить в монастырь может любой христианин для спасения своей души и угождения Богу […]
  • Постановление почерковедческая экспертиза Постановление почерковедческой экспертизы В настоящее время экспертиза почерка является одной из наиболее востребованных видов экспертиз. Основанием для проведения исследования служит постановление почерковедческой экспертизы […]
  • Код права собственности Подтверждение права собственности на домен с помощью Google Analytics Если вы используете Google Analytics для отслеживания трафика веб-сайта в домене, вы можете подтвердить право собственности на домен и активировать G Suite с помощью […]
  • Следственный комитет комсомольск на амуре Комсомольский-на-Амуре следственный отдел на транспорте Адрес: 681013, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Красногвардейская, 34 Телефон: тел/факс 8 (4217) 54-36-88 Руководитель: Кутиков Дмитрий Сергеевич Заместитель […]

Обсуждение закрыто.