Разложения на простые множители правило

Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом. Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди целых положительных чисел, больших единицы. Учитывая этот факт и правила умножения целых чисел, можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики. Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p1, p2, …, pn , при этом разложение имеет вид a=p1·p2·…·pn , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя степень числа. Пусть в разложении числа a простой множитель p1 встречается s1 раз, простой множитель p2 – s2 раз, и так далее, pn – sn раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p1 s1 ·p2 s2 ·…·pn sn . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители.

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики. Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p1, p2, …,pn чисел a, a1, a2, …, an-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p1·a1 , где a1=a:p1 , a=p1·a1=p1·p2·a2 , где a2=a1:p2 , …, a=p1·p2·…·pn·an , где an=an-1:pn . Когда получается an=1 , то равенство a=p1·p2·…·pn даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p1≤p2≤p3≤…≤pn .

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел. Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где — арифметический квадратный корень из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью правила и примеры деления целых чисел с остатком). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:

  • Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p1 числа a , после чего вычисляем a1=a:p1 . Если a1=1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a1 на равно 1 , то имеем a=p1·a1 и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель p2 числа a1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p1 , после чего вычисляем a2=a1:p2 . Если a2=1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2 . Если же a2 на равно 1 , то имеем a=p1·p2·a2 и переходим к следующему шагу.
  • Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p2 , находим наименьший простой делитель p3 числа a2 , после чего вычисляем a3=a2:p3 . Если a3=1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2·p3 . Если же a3 на равно 1 , то имеем a=p1·p2·p3·a3 и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель pn числа an-1 , перебирая простые числа, начиная с pn-1 , а также an=an-1:pn , причем an получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p1·p2·…·pn .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a1, a2, …, an , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p1, p2, …, pn .

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

www.cleverstudents.ru

Простые и составные числа

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

  • Следовательно, число 378=2*2*3*3*3*7.

www.nado5.ru

Разложение составных чисел на простые множители

Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.

Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.

Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

  • Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
  • — записать его слева от вертикальной черты;
  • — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
  • — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
  • — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
  • — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
  • — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
  • — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.

12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;
1 421 = 7 * 7 * 29;
8 = 2 * 2 * 2.

Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.

shkolo.ru

Изучаем математику вместе!

Разложение числа на простые множители онлайн

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно числу .

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Данная программа раскладывает число в произведение простых множителей онлайн. Разложить число на множители онлайн с её помощью очень просто.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком (в две колонки). Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

  • Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
  • Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом.
  • Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители происходит очень медленно.

Разложение числа на простые множители онлайн : 7 комментариев

Программа хорошая. Один вопрос. На каком языке написана программа?

umath.ru

5. Разложение на простые множители. Правила

Всякое составное число можно разложить на простые множители.
При любом способе получается одно и то же разложение,
если не учитывать порядка записи множителей.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.

2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель,
из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется
простым числом.

Разложим на простые множители число 27 :

27 не является простым.

27 на 2 не делится.

27 делится на 3, получаем 27 : 3 = 9 .

9 на 2 не делится.

9 делится на 3, 9 : 3 = 3.

3 простое число.

Результат: 27 = 3 • 3 • 3.

Разложим на простые множители число 378 :

378 не является простым.

378 делится на 2,
так как оканчивается на четное число ( 8 ).
378 : 2 = 189 .

189 делится на 3,
потому что сумма его цифр делится на 3,
получаем 189 : 3 = 63 .

63 так же делится на 3, получаем 63 : 3 = 21 .

21 так же делится на 3, получаем 21 : 3 = 7 .

7 простое число.

Разложим на простые множители число 2310 :

2310 не является простым.

2310 делится на 2,
так как оканчивается на число 0.
2310 : 2 = 1155 .

1155 делится на 3,
потому что сумма его цифр делится на 3,
получаем 1155 : 3 = 385 .

385 делится на 5, получаем 385 : 5 = 77 .

77 делится на 7, получаем 77 : 7 = 11 .

11 простое число.

Задачи на тему «Разложение на простые множители»

Разложите на простые множители числа и выберите верные варианты ответов.

1) = 2 • 3 • 3 2) = 2 • 5 • 5

3) = 2 • 3 • 5 4) = 3 • 3 • 3 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. 66 =

1) = 2 • 3 • 7 2) = 3 • 3 • 11

3) = 2 • 3 • 11 4) = 2 • 2 • 11 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. 162 =

1) = 2 • 3 • 3 • 3 • 3 2) = 2 • 3 • 3 • 7

3) = 2 • 3 • 3 • 11 4) = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. 210 =

1) = 2 • 3 • 3 • 7 2) = 2 • 3 • 5 • 7

3) = 2 • 3 • 7 • 7 4) = 3 • 3 • 5 • 7 Неверно. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 1225 =

1) = 5 • 5 • 5 • 7 2) = 5 • 7 • 7 • 7

3) = 3 • 5 • 5 • 7 4) = 5 • 5 • 7 • 7 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Неверно. 3003

1) = 3 • 3 • 11 • 13 2) = 5 • 7 • 11 • 13

3) = 3 • 7 • 11 • 13 4) = 3 • 7 • 11 • 11 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Разложите на простые множители числа и выберите верные варианты ответов.

1) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 2) 3 • 3 • 5

3) 3 • 4 • 4 4) 2 • 2 • 7 Неверно. Не кликай на пустое поле. 70 =

1) 3 • 5 • 7 2) 2 • 2 • 2 • 2 • 3

3) 2 • 5 • 7 4) 2 • 2 • 2 • 3 • 3 Неверно. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. 1188 =

1) 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 7 2) 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 11

3) 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 4) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 525 =

1) 2 • 5 • 5 • 7 2) 2 • 2 • 3 • 7

3) 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 7 4) 3 • 5 • 5 • 7 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Неверно. 2352 =

1) 2 • 3 • 5 • 7 • 7 2) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 7 • 7

3) 3 • 7 • 7 • 7 4) 3 • 4 • 4 • 7 • 7 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 660 =

1) 2 • 2 • 3 • 5 • 11 2) 5 • 11 • 11

3) 4 • 3 • 5 • 11 4) 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно. Неверно. Неверно.

Разложите числа на простые множители и введите их в поля ответов в порядке возрастания.

school-assistant.ru

Смотрите так же:

  • Приказ новогодних праздниках Экономполитика Зимний загул: россиянам расписали праздники Утвержден график праздников на 2018 год: 10 дней новогодних каникул Россиян ждут затяжные новогодние каникулы, которые продлятся 10 дней. Спецкомиссия по трудовым отношениям […]
  • Защита прав потребителей в ногинске адрес Ногинский Адрес суда: 142412, Московская область, г. Ногинск, ул. Климова, д.53Председатель суда: Ковальский Юрий Феликсович тел.: 8(49651)557-07Телефон секретаря председателя суда: 8(49651)557-07Телефон канцелярии по гражданским делам: […]
  • Правило согласования документов Реквизит 23 - гриф согласования документа Гриф согласования - реквизит, выражающий согласие организации, не являющейся автором документа, с его содержанием. 1 Гриф согласования (реквизит 23) документа состоит из слова СОГЛАСОВАНО, […]
  • Приказ по закаливанию в доу Закаливание в повседневной жизни детей Первым требованием для проведения закаливания детей в дошкольном учреждении является создание гигиенических условий жизни детей. Это, прежде всего, обеспечение чистого воздуха и рациональное […]
  • 15 закона 129-фз Федеральный закон от 8 августа 2001 г. N 129-ФЗ "О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей" (с изменениями и дополнениями) Информация об изменениях: Федеральным законом от 23 июня 2003 г. N 76-ФЗ в […]
  • Аграрные законы рф Федеральный закон от 29 декабря 2006 г. N 264-ФЗ "О развитии сельского хозяйства" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 29 декабря 2006 г. N 264-ФЗ"О развитии сельского хозяйства" С изменениями и дополнениями от: 11 июня, 23 […]

Обсуждение закрыто.