Рассчитать цепь методом применения законов кирхгофа

Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные законы электротехники. Первый закон Кирхгофа. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Страницы работы

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ

Керченский государственный морской технологический университет

Кафедра электрооборудования судов и автоматизации производства

Теоретические основы электротехники

к контрольным работам

для студентов заочного отделения

направления 6.050702 «Электромеханика»

«Электрические системы и комплексы транспортных средств»

Автор: , ст. преподаватель кафедры ЭС и АП

Рецензент: к.т.н. доцент кафедры ЭСиАП КГМТУ

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры ЭСиАП

протокол № 9 от 15.05.2009 г.

Методические указания утверждены и рекомендованы к утверждению на заседании методической комиссии МФ КГМТУ

протокол № 8 от 20.05.2009 г.

Методические указания утверждены на заседании Методического совета КГМТУ

протокол № 6 от 26.06.2009г.

1. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Расчет электрических цепей постоянного тока

Основные законы электротехники. Основными законами электротехники, с помощью которых можно осуществлять расчёт электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа.

Закон Ома: величина тока в цепи прямо пропорциональна электродвижущей силе Eисточника электрической энергии и обратно пропорциональна полному сопротивлению Rобщ. всей цепи (Рис. 1).

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю: .

Знаки токов берутся с учётом выбранных положительных направлений: то есть всем токам, направленным к узлу, приписывается знак «плюс» и все токи, направленные от узла, входят в уравнение со знаком «минус».

Для узла, изображенного на рис. 1.2, уравнение по первому закону Кирхгофа будет иметь вид:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

Для написания уравнения по второму закону Кирхгофа необходимо:

1. Произвольно выбрать направление обхода в контуре, например по часовой стрелке.

2. Произвольно выбрать направление токов.

3. Использовать правило знаков: если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС источника и направлением токов, то перед их величинами ставят знак «плюс», в противоположном случае «минус».

Для контура, изображенного на рис. 1.3, уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

Если контур не содержит источников ЭДС, то уравнение по второму закону Кирхгофа запишется так: то есть алгебраическая сумма падения напряжения в данном замкнутом контуре равна нулю.

Методы расчета электрических цепей. Различают простые и сложные электрические цепи. Наличие двух и более источников электрической энергии, отдающих ток в общую нагрузку, является признаком сложной электрической цепи.

Для расчёта сложных электрических цепей используют:

— метод непосредственного применения законов Кирхгофа;

— метод контурных токов;

— метод узловых потенциалов;

— метод эквивалентного генератора и т.д.

Пусть задана сложная электрическая цепь (Рис. 4).

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях.

2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

3. Используя токи, найденные при выполнении п.2, рассчитать потен- потенциалы узлов, применяя законы Ома и Кирхгофа.

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

4. Используя потенциалы, найденные в п.3, определить токи во всех ветвях семы.

5. Составить баланс мощности в исходной схеме.

6. Определить ток I1 в заданной схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора.

7. Начертить потенциальную диаграмму для любого контура.

8. Определить показания вольтметра.

1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Необходимо преобразовать исходную схему так, чтобы источник тока находился во внешней цепи (Рис. 5).

Для решения данной задачи используются первый и второй законы Кирхгофа.

1.Определяют число неизвестных токов и уравнений m.В данной цепи семь неизвестных токов, т.е. m = 7. Значит для однозначного решения такой задачи, как известно из алгебры, необходимо располагать семью линейно-независимыми уравнениями.

2.Выбирают произвольное направление токов и обхода в контуре. Например, по часовой стрелке.

3.Записывают (k-1) уравнение по первому закону Кирхгофа, где k – количество узлов. Уравнение для оставшейся k-ой узловой точки уже будет следствием первых (k-1) уравнений, т.е. оно не будет независимым. Для нашей цепи k =5.

4.Недостающие m – (k –1) уравнения составляют по второму закону Кирхгофа. Чтобы все эти уравнения были независимыми, т.е. каждое не было следствием других, необходимо выбрать такие контуры для составления уравнений, чтобы каждый из них отличался от других, по меньшей мере, одним новым участком цепи (одной ветвью).

В данной схеме 4 независимых контура. При составлении уравнений по законам Кирхгофа нужно учитывать правило знаков, рассмотренное ранее.

Таким образом, для расчета токов во всех ветвях схемы составляется

vunivere.ru

Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

electricalschool.info

Рассчитать цепь методом применения законов кирхгофа

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где — источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов k -й ветви и источника тока, т.е.:

Подставив (2) в (1), получим:

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n ) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В , записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c = n m +1 . Выражение (6) запишем следующим образом:

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

где — столбцовая матрица контурных токов; — транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

где — матрица контурных сопротивлений; — матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

B

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZB T

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

Выражение (16) перепишем, как:

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А , равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

Тогда получаем матричное уравнение вида:

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

где — матрица узловых проводимостей; — матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла ( m =3) и 5 ветвей ( n =5) . Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

www.toehelp.ru

Метод уравнений Кирхгофа

Уравнения Кирхгофа являются основными соотношениями, на которых базируются расчеты сложных электрических цепей.

Пусть имеется разветвленная сеть проводов, на различных участках которой находятся генераторы постоянного напряжения и резисторы с известными ЭДС Ek и сопротивлениями Rk ( k = 1, 2, 3,…).Такая сеть называется цепью постоянного тока (рис. 1). Ставится задача: рассчитать токи на каждом участке этой цепи * . Такую задачу можно решить с помощью двух правил (уравнений) Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепи и утверждает следующее: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

(1)

При этом токам, «входящим в узел», условно приписывается знак «+», а «выходящим» − знак «−». Это правило означает то, что заряды в узле не накапливаются: «сколько входит, столько и выходит»; оно следует из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в цепи контуру и утверждает следующее: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах произвольного контура (кроме генераторов) равна алгебраической сумме ЭДС генераторов, встречающихся в этом контуре, т. е.

(2)

Напряжение и k = ikRk на элементе Rk считается положительным, если выбранное направление обхода данного контура совпадает с выбранной стрелкой тока через данный элемент; ЭДС Ek считается положительной, если выбранное направление обхода контура совпадает со стрелкой ЭДС данного генератора. Это правило следует из основного свойства электростатического поля: циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Правила Кирхгофа (1) и (2) позволяют написать полную систему линейных алгебраических уравнений, из которой можно однозначно определить токи на всех участках цепи. Практически последовательность составления таких уравнений следующая.

1. На всех участках цепи указать стрелками «направления» токов (стрелки токов наносятся прямо на линию провода). Вообще говоря, стрелки токов можно наносить как попало, их нет нужды угадывать. А вот знаки слагаемых в уравнениях Кирхгофа пишутся уже строго под выбранные стрелки. И если в результате вычислений окажется, что какой-либо ток ik

* Участком называется фрагмент цепи между двумя узлами, не содержащий других узлов. Узел − это точка цепи, в которой сходятся три или более проводов.

elekt.com.ua

Учебные материалы

Расчет электрической цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Порядок выполнения расчета:

  1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
  2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
  3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
    1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
    2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
  4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

www.dprm.ru

Смотрите так же:

  • Православие основные законы 10 Заповедей Закона Божьего. Толкование Заповедей. Грехи против 10 Заповедей 1. Аз есмь Господь Бог Твой: да не будут Тебе бози инии, разве Мене. 2. Не сотвори себе кумира и всякаго подобия, елика на небеси горе, и елика на земли низу, и […]
  • Нотариус в волгограде ворошиловский район Нотариус Волгоград Ворошиловский район. Список Нотариальные конторы необходимы для заверения документов, хранения ценных бумаг, удостоверения того, что клиент на момент совершения определенных сделок не состоит в браке и многих других […]
  • Федеральный закон от 2 мая 2018 года 122-фз Изменения в законодательстве в июне 2018 года Хозяйственная деятельность 1. Внесены поправки в Гражданский кодекс РФ относительно финансовых сделок, банковских вкладов, счетов и расчетов.Федеральный закон от 26 июля 2017 г. N 212-ФЗ "О […]
  • Приказ 345 от 1973 Приказ Министерства транспорта РФ от 7 ноября 2013 г. N 345 "Об утверждении Обязательных постановлений в морском порту Кандалакша" Приказ Министерства транспорта РФ от 7 ноября 2013 г. N 345"Об утверждении Обязательных постановлений в […]
  • Закон архимеда плотность вещества Закон архимеда плотность вещества Главная Вспомни физику: 7 класс 8 класс 9 класс 10-11 класс видеоролики по физике мультимедиа 7 кл. мультимедиа 8 кл. мультимедиа 9 кл. мультимедиа 10-11 кл. астрономия тесты 7 кл. тесты 8 […]
  • Размер госпошлины за обеспечительные меры Госпошлина в арбитражный суд: 2017 год Актуально на: 19 июня 2017 г. Заявление на возврат излишне уплаченной государственной пошлины Одной из разновидностью госпошлин является государственная пошлина в арбитражный суд. Об особенностях […]

Обсуждение закрыто.