Правило разложения определителя по строке

Линейная Алгебра

Сайт о разделе высшей математики — линейной алгебре

Разложение определителя

п.3. Разложение определителя и свойство ортогональности.

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

, ; (1)

, . (2)

Доказательство. В силу равноправия строк и столбцов достаточно доказать теорему для столбцов. Для простоты записи, докажем формулу разложения по элементам первого столбца:

.

Доказательство формулы разложения определителя по элементам произвольного столбца проводится аналогично.

Используя правила действий с матрицами и, в частности, со столбцами мы можем расписать столбец в виде:

.

, , …, .

и, используя свойство линейности, получаем:

.

Вычисляем все определители, стоящие в правой части последнего равенства.

.

Заметим, что все члены определителя содержащие элемент из первой строки, но не из первого столбца равны нулю. Действительно, если , то из первого столбца в произведении должен стоять элемент не из первой строки, т.е. нуль. Таким образом, в сумме остаются члены определителя с первым множителем , .

Далее, очевидно, что и суммирование в сумме оставшихся членов определителя ведется по всем перестановкам множества (2, …, n), т.е.

.

Далее, в следующем определителе переставим первую и вторую строки. Тогда по только что доказанному, получаем:

. Следующие определители вычисляются аналогично.

Замечание. Формула (1) называется разложением определителя по элементам – й строки, (2) – разложением определителя по элементам – го столбца.

Формулы (1) и (2) можно записать в матричной форме:

; .

Замечание. Разложение определителя но элементам строки (столбца) применяют для вычисления определителей небольшого порядка (третьего или максимум четвертого порядка) или определителей более высокого порядка, но с большим количеством нулевых элементов.

Пример.

.

Комментарии к примеру: сначала мы разложили определитель по элементам первого столбца, затем получившийся определитель 3 – го порядка разложили по элементам 1 – й строки и в конце вычислили определитель 2 – го порядка.

Замечание. Понятно, что при разложении определителя по элементам строки или столбца нужно выбирать строку или с столбец с наибольшим количеством нулей.

procmem.ru

Вычисление определителя разложением по столбцу

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

Примеры:
B = a1 1 •a2 2 •a3 3 — a1 1 •a3 2 •a2 3 — a1 2 •a2 1 •a3 3 + a1 2 •a3 1 •a2 3 + a1 3 •a2 1 •a3 2 — a1 3 •a3 1 •a2 2
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

math.semestr.ru

Вычисление определителя разложением по строкам

Пример . Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Выводы . Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2 . Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

math.semestr.ru

Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков. Один из методов вычисления определителей высших порядков – использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \ldots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \ldots & a_ <2n>\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \end \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

$A_$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры. Запись $a_$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

Что обозначает знак $\sum$? показать\скрыть

Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква «сигма»).

Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_^<5>i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования, а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись $\sum\limits_^<5>i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:

Следующее целое число после единицы – двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:

После двойки следующее число – тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_^<5>i^2=55$.

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_^<8>(5k+2)$. Индекс суммирования здесь – буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде:

$$\Delta=\left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& a_ <14>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& a_ <24>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>& a_ <34>\\ a_ <41>& a_ <42>& a_ <43>& a_ <44>\\ \end \right|$$

Выберем произвольный столбец в этом определителе. Возьмём, к примеру, столбец под номером 4. Запишем формулу для разложения определителя по выбранному четвёртому столбцу:

Аналогично, выбирая, к примеру, третью строку, получим разложение по этой строке:

Вычислить определитель матрицы $A=\left( \begin 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:

Для нашей матрицы $a_<11>=5$, $a_<12>=-4$, $a_<13>=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_<11>$, $A_<12>$, $A_<13>$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:

Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть

Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры. Краткая суть выражена на рисунке ниже:

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$ \Delta A= a_<11>\cdot A_<11>+a_<12>\cdot A_<12>+a_<13>\cdot A_<13>=5\cdot<8>+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, – до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, – просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_<32>=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_<32>\cdot A_<32>=0\cdot A_<23>=0$. Используя формулу (2) для разложения по второму столбцу, получим:

$$ \Delta A= a_<12>\cdot A_<12>+a_<22>\cdot A_<22>+a_<32>\cdot A_<32>=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin 7 & -1 \\ 9 & 4 \end \right|+2\cdot \left| \begin 5 & 3 \\ 9 & 4 \end \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Вычислить определитель матрицы $A=\left( \begin -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу (1), запишем разложение определителя по третьей строке:

Так как $a_<31>=-5$, $a_<32>=0$, $a_<33>=-4$, $a_<34>=0$, то записанная выше формула станет такой:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_<31>-4\cdot A_<33>. $$

Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_<31>$ и $A_<33>$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).

Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_<31>-4\cdot A_<33>=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:

$$ \Delta A= a_<31>\cdot A_<31>+a_<32>\cdot A_<32>+a_<33>\cdot A_<33>+a_<34>\cdot A_<34>=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

math1.ru

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

Теория очередей (СМО)

Формула разложения определителя и формула Лапласа

Разложим определитель n-го порядка по первой строке (согласно определению)

Продолжая раскладывать каждый из полученных определителей по первой строке, получаем формулу полного разложения определителя :

Каждое слагаемое — это произведение [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] [math]n[/math] элементов определителя, взятых из разных строк и разных столбцов: из первой строки взят один элемент [math]a_<1j_1>[/math] , стоящий в [math]j_1[/math] -м столбце; из второй строки — элемент [math]a_<2j_2>[/math] , стоящий в [math]j_2[/math] -м столбце, причем [math]j_1\ne j_2[/math] и т.д., из последней строки — элемент [math]a_[/math] , стоящий в [math]j_n[/math] -м столбце, причем [math]j_n\ne j_1,\,j_n\ne j_2,\,\ldots,\,j_n\ne j_[/math] Упорядоченный набор [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] неравных между собой первых [math]n[/math] натуральных чисел называется перестановкой (см. пример). Например, имеется 6 перестановок из первых трех натуральных чисел:

Перестановка [math](1,2,3,\ldots,n)[/math] называется тождественной . Суммирование в (2.5) проводится по всем перестановкам [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] из [math]n[/math] чисел. Всего в правой части (2.5) имеется [math]n![/math] слагаемых (по количеству различных перестановок). Определим знак, стоящий перед каждым произведением [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] . Заметим, что при разложении определителя первое слагаемое имеет вид

т.е. произведение [math]a_<11>\cdot a_<22>\cdot \ldots\cdot a_[/math] элементов на главной диагонали определителя входит в сумму со знаком плюс. Этому произведению соответствует тождественная перестановка [math](1,2,3,\ldots,n)[/math] номеров столбцов. Произведению [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] соответствует перестановка [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] номеров столбцов. Если столбцы определителя переставить так, чтобы эти элементы оказались на главной диагонали, то перед их произведением оказался бы знак плюс. Поскольку при перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный, то перед произведением [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] нужно поставить коэффициент [math](-1)^<\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)>[/math] , где [math]\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] — соответствующее количество перестановок столбцов определителя. Это число равно количеству транспозиций — перемен местами двух чисел в перестановке — необходимых для приведения перестановки [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] к тождественной. Напри мер, для определителя 3 -го порядка [math](n=3)[/math] найдем знак, с которым в правую часть (2.5) входит произведение [math]a_<13>a_<22>a_<31>[/math] . Этому произведению соответствует перестановка [math](j_1,j_2,j_3)=(3,2,1)[/math] . Поменяем местами 1-е и 3-е числа, получим тождественную перестановку [math](1,2,3)[/math] . Следовательно, [math]\sigma(3,2,1)=1[/math] , т.е. перед произведением [math]a_<13>a_<22>a_<31>[/math] стоит коэффициент [math](-1)^1=-1[/math] , что и указано в формуле (2.3).

Пример 2.6. Доказать, что определитель n-го порядка «с большим нулевым углом» равен нулю, т.е.

Решение. Рассмотрим произведение [math]a_<1j_1>a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] в правой части (2.5). Если хотя бы один множитель равен нулю, то и произведение будет равным нулю. Поэтому из первой строки надо брать элемент [math]a_<1j_1>[/math] , стоящий в столбце k»>[math]j_1>k[/math] , из второй строки — элемент [math]a_<2j_2>[/math] , стоящий в столбце k»>[math]j_2>k[/math] и [math]j_2\ne j_1[/math] , и т.д. из m-й строки — элемент [math]a_[/math] , стоящий в столбце k,»>[math]j_m>k,[/math] [math]j_m\ne j_1,j_m\ne j_2,\ldots,j_m\ne j_[/math] . Но выбрать [math]m[/math] разных столбцов из [math](n-k)[/math] столбцов невозможно при [math]n-k

Формула Лапласа разложения определителя

Теорема Лапласа обобщает формулу разложения определителя по элементам строки (столбца).

Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка. Выберем в матрице [math]A[/math] [math]k[/math] строк [math](1\leqslant k\leqslant n)[/math] с номерами [math]i_1,i_2,\ldots,i_k[/math] [math](1\leqslant i_1

Пример 2.7. Вычислить по формуле Лапласа определитель

Решение. Выберем в матрице [math]A[/math] первые две строки [math](i_1=1,\,i_2=2)[/math] . В этих строках расположены 6 миноров, которые получаются при произвольном выборе двух столбцов:

Найдем алгебраические дополнения этих миноров

Вычислим определитель, используя формулу разложения по двум строкам:

Используем теперь формулу разложения по столбцам. Выберем, например, 1-й и 4-й столбцы [math](j_1=1,\,j_2=4)[/math] . Находим миноры, расположенные в этих столбцах, и их алгебраические дополнения

Вычисляем определитель, используя формулу разложения по двум столбцам:

1. Дополнительный минор элемента [math]a_[/math] (см. разд.2.2) является минором (n-1)-го порядка, т.е.

2. Если [math]A[/math] и [math]C[/math] квадратные матрицы, [math]B,\,O[/math] матрицы соответствующих размеров, причем [math]O[/math] — нулевая, то определитель блочно-треугольной матрицы находится по формуле

Действительно, применяя формулу Лапласа к столбцам, в которых расположена матрица [math]A[/math] , получим одно слагаемое [math]|A|\cdot|C|[/math] . Остальные миноры в этих столбцах равны нулю, так как содержат нулевую строку.

mathhelpplanet.com

Смотрите так же:

  • Жалоба на судоисполнителей Куда жаловаться на судебных приставов? Куда жаловаться на судебных приставов – такой вопрос нередко возникает у граждан, пытающихся вернуть долги при помощи судебных приставов-исполнителей. Конечного результата от приставов можно ждать […]
  • Следственный комитет комсомольск на амуре Комсомольский-на-Амуре следственный отдел на транспорте Адрес: 681013, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Красногвардейская, 34 Телефон: тел/факс 8 (4217) 54-36-88 Руководитель: Кутиков Дмитрий Сергеевич Заместитель […]
  • Закон кирхгофа спектральная плотность Закон Кирхгофа Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной […]
  • Самые маленький налоги в мире Страны с низкой и нулевой ставкой подоходного налога Порядок взимания налога на доходы физических лиц имеет свои особенности в каждой конкретной стране. В некоторых странах ставка подоходного налога для всех одинакова вне зависимости от […]
  • Как написать претензию в налоговую Жалоба на бездействие налоговой инспекции: образец Актуально на: 13 июля 2017 г. Жалоба на бездействие налогового органа (образец) Если плательщик считает, что налоговики бездействовали в то время, когда должны были действовать, и из-за […]
  • Получение субсидии по смерти Порядок оформления пособия на погребение Смерть близкого человека еще никогда не приносила радости. Но, как бы ни было плохо, необходимо всегда знать о том, как получить пособие на погребение? Кто может получить эту выплату? Кто […]

Обсуждение закрыто.