Правило максимизации среднего ожидаемого дохода

15.2. Методы принятия рациональных решений

Критерии принятия решений в условиях полной неопределенности. Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации, т.е.

При принятии решения /* получаем такое значение показателя у\ которое мы можем гарантировать при наихудшем для пас значении неопределенного параметра у.

т . mint;,. . minify minify

Так, в примере 15.2 имеем =2, . — 2, =3,

. = I. Теперь из чисел 2, 2, 3, 1 находим максимальное — 3.

Значит, правило Вальда рекомендует принять третье решение, приносящее доход в 12 ден. ед.

Критерий максимакса, или оптимизма. Этот критерий определяет решение, которое максимизирует максимальный результат каждой альтернативы:

Так, для примера 15.2 это будет второе решение.

Однако этот критерий слишком оптимистичен, поэтому чаще применяют критерии Гурвица, «взвешивающий» пессимистический и оптимистический подходы к ситуации и состоящий в выборе решения по правилу

где а принимает значения от 0 до 1. При а = 1 получается пессимистический подход к принятию решения на основе правила Вальда; при а = 0 — оптимистический подход (критерий максимакса). Значение а выбирается из субъективных соображений (экспертная оценка).

Задача. Какое решение будет принято в соответствии с критерием Гурвица в условиях примера 15.2, если а = 0,7?

Правило (критерий) Сэвиджа (минимального риска, или минимаксный критерий). Данный критерий соответствует позиции крайней осторожности. Вначале по матрице (15.1) находят матрицу риска IV, показывающую потери (отклонения от наилучшего значения) для каждого решения х е X при всех значениях параметра у е У. Критерий Сэвиджа состоит в выборе решения на основе матрицы риска Щх, у) с использованием принципа гарантированного результата:

^ Теперь из чисел 8, 6, 5, 7 выбираем минимальное.

т. е. 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять третье решение.

Правила Вальда и Сэвиджа приводят к одинаковым решениям, поэтому их применяют в зависимости от имеющейся информации.

Принятые по рассмотренным правилам решения никто не считает окончательными, самыми лучшими. Это лишь первый шаг. некоторые предварительные соображения. Далее пытаются узнать что-то о вариантах реальной ситуации, в первую очередь о возможности (вероятности) того или иного варианта. Оценка вероятности варианта предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: что-то уже было в прошлом или произойдет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например в филиалах фирмы.

Критерии принятия решений в условиях частичной (вероятностной) неопределенности. Предположим, что в рассматриваемой схеме для каждого /-го решения известны вероятности Pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j с соответствующим результатом Vy. В ситуации частичной неопределенности решения принимают в соответствии со следующими правилами.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, подучаемый фирмой при реализации /-го решения, является случайной величиной Vj с плотностью распределения вероятностей f(v), т.е. вероятностями ^результатов (гистограммой), приведенными в табл. 15.1 (считаем эти вероятности для всех решений равными как вероятности различных состояний, оказывающих влияние на результат реализации решения среды), т.е. Рц = pj V /’.

Поданным табл. 15.1 для каждого решения рассчитываем сред-

ний ожидаемый доход У/ = M\V,\ = YJPJVV- Правило рекомендует

принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход:

Предположим, что в схеме примера 2 вероятности р/. ‘/2, ‘/6, ‘/6, ‘/6. Тогда V\ = s/2 + 2/6 + ®Л + 4Л = */ь, У2 = “Л, Уз = 7, У* = 17Л- Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило Лапласа (равновозможности или безразличия). Это правило применяют иногда в условиях полной неопределенности,

Распределение возможных результатов /-го решения Характеристи ка Результат реализации решения 1 . J т Доход V, v,\ . . Vlm вероятность Pj его реализации Р\ PJ .

Правьио минимизации среднего ожидаемого риска. Потери ЛПР при реализации /-го решения являются случайной величиной W, с вероятностями реализации pj (табл. 15.2).

Для каждого решения вычисляют риск (средние ожидаемые

потери) R, = M\W,\ = Правило рекомендует принять ре-

шение, в результате которого риск (средние ожидаемые потери) будет минимален:

Вычислим средние ожидаемые потери при указанных выше вероятностях. Получаем /?, = M/6, R2 = 4, /?, = 7/6, RA = 32/6. Минимальные средние ожидаемые потери равны 1 /ь и соответствуют третьему решению.

При значительном наборе вариантов классические критерии целесообразно использовать в качестве «фильтра» для отсеивания неуместных вариантов решения.

Стохастическое программирование. Данный метод является обобщением нелинейного программирования на тот случай, когда нет точной информации о целевой функции и ограничениях экстремальной задачи. Задачи стохастического профаммирования возникают при выборе оптимальных решений в ситуациях, когда каждое решение приводит к неоднозначному исходу и с каждым решением связана величина целевой функции, зависящая от случайных параметров, описываемых заданным или неизвестным вероятностным распределением.

Принятие решений в условиях поведенческой неопределенности. Решения в игровых ситуациях, когда в этом процессе участвует несколько сторон (игроков), принимают методами теории игр. Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. (Дж. Нейман, 1970). Если интересы игроков противоположны, то игры называют антагонистичесКими; если игроки могут объединиться для получения более высокого выигрыша, то игры называют кооперативными. Если конфликт может возникать не только в результате сознательных действий различных участников, то говорят об «играх с природой».

Для характеристики игровой ситуации используют следующие понятия: «игроки (участники)» — множество заинтересованных сторон; «стратегии» — возможные действия каждой из сторон; «функции выигрыша (платежи)» — числовые характеристики, выражающие интересы игроков. Стратегии бывают «чистыми» и «смешанными». Чистая стратегия ориентирована на определенное поведение игрока-противника, а смешанная — на несколько его возможных стратегий поведения.

Игры классифицируют по следующим признакам:

числу игроков — игры с двумя, тремя и большим количеством участников (в частном случае при одном игроке получаем задачу математического программирования);

количеству стратегий, которыми располагают игроки — конечные и бесконечные игры. Так, в системе «продавец—покупатель» каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара;

свойствам функции выигрыша — игры с нулевой суммой (антагонистические), т.е. игры, в которых есть прямой конфликт и выигрыш одного участника равен проигрышу второго, и игры с постоянной разностью, в которых игроки проигрывают и выигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща;

возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры — кооперативные и некооперативные игры.

Алгоритм формулировки задачи в игровой постановке: 1)

определение участников игры (игроков). Анализируют условия задачи, выделяют участников игры и определяют суть конфликта между ними; 2)

определение стратегий игроков, следующих из их целей. В матричных играх с нулевой суммой цели игроков прямо противоположны; 3)

определение выигрышей (платежей) игроков при использовании каждой стратегии в количественном выражении, являющихся показателями степени достижения их целей. Выигрыши определяются для различных сочетаний стратегий игроков; 4)

представление матрицы выигрышей (платежей) в нормальной форме.

Основным принципом решения матричных антагонистических игр является предположение о том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых Действиях партнера. В этих условиях оптимальной стратегией игро- ка № 1 вне зависимости от стратегии противника будет стратегия, максимизирующая минимальный выигрыш (максиминная стратегия), а для игрока № 2 оптимальной тогда является минимаксная стратегия. Фундаментальным результатом теории игр является теорема о минимаксе, которая утверждает, что сформулированные задачи для игроков № I и 2 всегда имеют решение для любой матрицы выигрышей и решения совпадают.

lib.sale

Приложения математики в экономике

Сущность правил Вальда (крайний пессимизм) и Сэвиджа (минимальный риск) при принятии решений в условиях полной неопределенности. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего риска. Риск как среднее квадратичное отклонение.

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Сущность закона больших чисел. Принцип диверсификации с математической точки зрения. Расчёт среднего ожидаемого дохода и среднего риска двух финансовых операций. Нетто-ставка как вероятность страхового случая. Обеспечение репрезентативности выборки.

презентация [78,1 K], добавлен 01.11.2013

Критерии принятия решений в условиях радикальной и вероятностной неопределенности: критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. Выбор проекта, который обеспечит максимальный доход из минимально возможных. Определение среднего дохода по проекту.

контрольная работа [107,7 K], добавлен 23.09.2014

Определение наличия седловой точки у матрицы. Оптимальная стратегия игрока. Определение среднего выигрыша, оптимальных чистых стратегий в условиях неопределенности для матрицы выигрышей. Критерии максимакса, Вальда, минимаксного риска Сэвиджа и Гурвица.

контрольная работа [26,2 K], добавлен 06.09.2012

Оптимизация решений динамическими методами. Расчет оптимальных сроков начала строительства объектов. Принятие решений в условиях риска (определение математического ожидания) и неопределенности (оптимальная стратегия поведения завода, правило максимакса).

контрольная работа [57,1 K], добавлен 04.10.2010

Теория статистических решений как поиск оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Критерии принятия решений Лапласа, минимаксный, Сэвиджа, Гурвица и различия между ними. Математические средства описания неопределенностей.

контрольная работа [66,0 K], добавлен 25.03.2009

Сущность общей методики формирования критериев. Расчет показателя эффективности стратегии, средневзвешенного выигрыша, цены игры, оптимальности стратегии по критериям Байеса, Лапласа, Вальда, Ходжа-Лемана, Гермейера, максимаксному, критерию произведений.

реферат [67,3 K], добавлен 23.05.2010

Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.

курсовая работа [79,0 K], добавлен 16.09.2013

Решение задач при помощи пакета прикладных программ MatLab. Загрузка в MatLab матриц A и P. Нахождение оптимальной стратегии для заданных матриц с использованием критериев принятия решений в условиях неопределённости Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.

лабораторная работа [80,2 K], добавлен 18.03.2015

Принятие решений в условиях неопределенности. Критерий Лапласа и принцип недостаточного основания. Критерий крайнего пессимизма. Требования критерия Гурвица. Нахождение минимального риска по Сэвиджу. Выбор оптимальной стратегии при принятии решения.

контрольная работа [34,3 K], добавлен 01.02.2012

Изучение статистического метода анализа риска. Анализ и оценка уровеня риска деятельности предприятия с помощью графика Лоуренца. Страновой риск – риск изменения текущих или будущих политических или экономических условий в странах. Оценка производства.

контрольная работа [72,3 K], добавлен 10.02.2009

knowledge.allbest.ru

Критерии выбора решений в условиях частичной неопределенности

Рассмотренные ранее ситуации максимизации среднего ожидаемого дохода (3.2) и минимизации среднего ожидаемого риска (3.6) с известной вероятностью pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j называются частичной неопределенностью. К этим же случаям можно добавить и критерий Лапласа.

Критерий рациональности Лаплпаса (равновозможности, безразличия) основан на принципе равных вероятностей(pj = 1/n) для всех вариантов реальной ситуации.

При использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается

, (3.7)

где qij – ожидаемый доход при выборе i-го варианта решения и j-ом состоянии среды (ситуации).

В случае минимизации среднего ожидаемого риска выбирается вариант решения, для которого обеспечивается

. (3.8)

r ij – ожидаемые потери при выборе i-го решенияварианта и реализации j-го варианта состоянии среды.

Пример 3.2. Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных, приведенных в матрице последствий

,

необходимо выбрать наилучший вариант решения на основе: а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

а) С учетом равной вероятности пяти вариантов исходов реальной ситуации (pj =1/n=1/5), значения среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения оцениваются по выражению (3.2) и составляют =5, = 6,2, = 7,00, = 4,4 (рис.3.7).

Рис. 3.7. Результаты расчета среднего ожидаемого дохода

Согласно критерию Лапласа (3.7), наилучшим вариантом решения будет третий, с максимальным средним ожидаемым доходом равным =7,00.

б) Рассчитываются элементы матрицы рисков по выражению (3.4) и для каждого варианта решения по выражению (3.6) вычисляются значения среднего ожидаемого риска с учетом равновероятности вариантов ситуации: = 3,60, = 2,40, = 1,60, = 4,20 (рис.3.8).

Рис. 3.8. Матрица рисков и величины среднего ожидаемого риска

С учетом критреия Лапласа (3.8) наилучшим будет третий вариант, с минимальным значением среднего ожидаемого риска равным 1,60.

studopedia.ru

10533 / 9.Критерии принятия решений в условиях частичной неопределенности

Если при принятии решения ЛПР известны вероятности pj того, что реальная ситуация может развиваться по варианту j, то говорят, что ЛПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода. Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности pj вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при i-ом решении, является случайной величиной Qi с рядом распределения

Математическое ожидание M[Qi ] случайной величины Qi и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также :

= M[Qi ] = .

Для каждого i-го варианта решения рассчитываются величины , и в соответствии с рассматриваемым критерием выбирается вариант, для которого достигается

Правило минимизации среднего ожидаемого риска(другое название –критерий минимума среднего проигрыша).

В тех же условиях, что и в предыдущем случае, риск ЛПР при выборе i-го решения является случайной величинойRiс рядом распределения

Математическое ожидание M[Ri]и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также:= M[Ri] = ..Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск:.

Критерий (правило) Лаплпаса равновозможности (безразличия). Этот критерий непосредственно не относится к случаю частичной неопределеннос-ти, и его применяют в условиях полной неопределенности. Однако здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны – отсюда и название критерия. Тогда описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности pj одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными 1/n. Так, при использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается . А в соответсвии с критерием минимизации среднего ожидаемого риска выбирается вариант решения, для которого обеспечивается.

Пример 2.6. Пусть для исходных данных примера 2.1 известны вероятности развития реальной ситуации по каждому из четырех вариантов, образующих полную группу событий:

p1=1/2,p2=1/6,p3=1/6,p4=1/6. Выяснить, при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.

Решение.Найдем для каждогоi-го варианта решения средний ожидаемый доход:=1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6,= 25/6,= 7,= 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Пример 2.7. Исходные данные те же, что и в примере 2.6. Определить, при каком варианте решения достигается наименьший средний ожидаемый риск, и найти величину минимального среднего ожидаемого риска (проигрыша).

Решение.Для каждогоi-го варианта решения найдем величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы рискаRнайдем:= 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6,= 4,= 7/6, = 32/6.

Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению: = 7/6.

Замечание. Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

Пример 2.8. Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных примера 2.1, выбрать наилучший вариант решения на основе: а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

Решение.а) С учетом равновероятности вариантов реальной ситуации величины среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения составляют= (5+2+8+4)/4=19/4,= 21/4,= 26/4,= 15/4. Следовательно, наилучшим вариантом решения будет третий, и максимальный средний ожидаемый доход буде равен 26/4.

б) Для каждого варианта решения рассчитаем величины среднего ожидаемого риска на основе матрицы рисков с учетом равновероятности вариантов ситуации: = (3+3+0+8)/4 = 14/4,= 3,= 7/4, = 18/4. Отсюда следует, что наилучшим будет третий вариант, и при этом минимальный средний ожидаемый риск составит 7/4.

studfiles.net

Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности

Если при принятии решения ЛИР известны вероятности Р> того, что реальная ситуация может развиваться по варианту ], то говорят, что Л ПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода

Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности/^ вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при решении /, является случайной величиной

Решение. Для каждою 1-го варианта решения определим величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы риска Я_ найдем :Д, = (1/2)-3 + (1/6)-3 + (1/6)-0 + (1/6)-8 = = 20/6, Я2 = 4,/?3 = 7/6,7?4 = 32/6.

Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск 7/6 соответствует третьему решению пни Д, =Я, = 7/6.

Замечание. Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

Критерий (правило) Лапласа равновозможности (безразличия)

Этот критерий непосредственно не относится к случаю частичной неопределенности, и его применяют в условиях полной неопределенности. Однако здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны — отсюда и название критерия. Тогда описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности р-; одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными 1/п. Так, при использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается шах О, = шах- £ 0″. А в соответствии с критерием минимизации среднего ожидаемого риска выдирается вариант решения, для которого

обеспечивается min R, = min — X >’ц-

i i nj-i 1

Пример 9.8. Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных примера 9.1, выберите наилучший вариант решения на основе: а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

Решение: а) с учетом равновероятности вариантов реальной ситуации величины среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения составляют Q, =(5 + 2 + 8 + 4):4 — 19/4, (¿2 = 21/4, (2з = 26/4, Q4 = 15/4. Следовательно, наилучшим вариантом решения будет третий, максимальный средний ожидаемый доход составит 26/4;

б) для каждого варианта решения рассчитаем величины среднего ожидаемого риска на основе матрицы рисков с учетом равновероятности вариантов ситуации: Rt = (3 + 3 + 0 + 8) : 4 = = 14/4, R2 = 3,R3 = 7/4,/?4 = 18/4. Отсюда следует, что наилучшим будет третий вариант, и при этом минимальный средний ожидаемый риск составит 7/4.

Критерий (правило) Лапласа максимума средневзвешенного выигрыша

По данному критерию выбирается вариант решения, при котором для платежной матрицы достигается максимум выражения Ц = UPfly, где Р-, — вероятность реализации j-й ситуации; q^ — значение выигрыша при реализации i-ro решения при j-й ситуации:

I = max^Pjqij. ‘ j

Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться тем результатом, который обеспечивает средний максимальный выигрыш. Если вероятности реализации каждой у-й ситуации Pj заранее неизвестны, то в частном случае их можно считать равными между собой: Pj = 1/и, где п —число возможных ситуаций по платежной матрице.

На практике ситуации, в которых вероятности реализации каждой j-н ситуации Р, априорно (заранее) известны — крайне редки. Но и ситуации, в которых о возможностях реализации той или иной у-й ситуации заранее неизвестно ничего — также крайне редки. Чаще всего о возможностях реализации /ситуаций известна лишь некоторая информация, по которой можно провести ранжирование этих ситуаций, установив порядок их ожидаемой очередности. В этом случае вероятность реализации каждой из ] ситуаций определяется выражением

где — номер ранга у’-й ситуации; п — число возможных ситуаций по платежной матрице.

Для приведенной в рассмотренном примере платежной матрицы выберем наилучший вариант решения на основе критерия Лапласа, считая, что наибольшие шансы на реализацию имеет третья ситуация и далее, в порядке очередности -вторая, четвертая и первая, т.е. к = 4, ¿2 = 2, к% = 1, £4 = 3.

Рассматривая платежную матрицу (матрицу последствий)

studme.org

Смотрите так же:

  • Увольнение в банке при отзыве лицензии Расчет выплат и увольнение при отзыве лицензии у банка? Добрый день! Меня зовут Персональные даннные скрыты г. Челябинск. Ситуация следующая. 29.01.2015 решением ЦБ была отозвана лицензия на осуществление банковских операций у ОАО Данные […]
  • Заявление на помощь инвалиду Какая материальная помощь положена инвалидам 3 группы, как получить? Материальная помощь инвалидам 3 группы — обязательный вид поддержки, который предоставляется на государственном уровне и дополняется определенным перечнем льгот. К […]
  • Состояние заявления не подано Состояние заявления не подано Муниципальное казенное учреждение «Многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг города Ростова-на-Дону» Каталог услуг Проверить статус Вашего заявления стало проще! До […]
  • Закон челябинской области о бюджете на 2018 Закон Челябинской области от 26 декабря 2017 года № 636-ЗО "Об областном бюджете на 2018 год и на плановый период 2019 и 2020 годов" Статья 1. Основные характеристики областного бюджета на 2018 год и на плановый период 2019 и 2020 […]
  • Закон об обработке персональных данных 152-фз Закон "О персональных данных" Федеральный закон от 27 июля 2006 г. N 152-ФЗ"О персональных данных" С изменениями и дополнениями от: 25 ноября, 27 декабря 2009 г., 28 июня, 27 июля, 29 ноября, 23 декабря 2010 г., 4 июня, 25 июля 2011 г., 5 […]
  • Закон о персональных данных гражданина Операторов могут начать наказывать за хранение персональных данных российских граждан на зарубежных серверах С предложением дополнить ст. 13.11 КоАП об ответственности за нарушение требований Федерального закона от 27 июля 2006 г. № […]

Обсуждение закрыто.