Правило числовые неравенства

Оглавление:

Числовые неравенства и их свойства.

Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами, с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств, на которых базируются все принципы работы с неравенствами.

Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны свойствам числовых равенств. Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.

Навигация по странице.

Числовые неравенства: определение, примеры

Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше , меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:

Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.

Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1 3 .

А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .

Свойства числовых неравенств

На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств. Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):

  • число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
  • число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
  • число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.

Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:

  • число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
  • число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.

Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.

Основные свойства

Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.

Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков , характерно:

Свойство антирефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа a неравенства aa – неверные.

Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0 , откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a . Следовательно, aa – неверные неравенства.

Например, 3 b , то b

Обоснуем его, обратившись к данному выше определению отношений «больше» и «меньше». Начнем с первой части. Так как aa . Аналогично доказывается и вторая часть рассматриваемого свойства.

Приведем пример: из неравенства 5 5 , а числовое неравенство −0,27>−1,3 можно переписать как −1,3 , а > на c , то a>c .

Докажем его первое утверждение. Условия a

Покажем примеры применения разобранного свойства неравенств. Например, из неравенств −1 b , то a+c>b+c ;

  • если a≤b , то a+c≤b+c ;
  • если a≥b , то a+c≥b+c .
  • Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!

    Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a

    Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a

    На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением противоположного числа −c .

    Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .

    Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.

    Доказательство. Начнем со случая, когда c>0 . Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c . Так как по условию a0 , то произведение (a−b)·c будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b на положительное число c (что следует из правила умножения чисел с разными знаками). Следовательно, a·c−b·c 1 .

    Следствие 2. Если обе части числового равенства являются положительными числами, то, заменив их обратными им числами, и изменив знак неравенства на противоположный, будет получено верное числовое неравенство. То есть, если a и b – положительные числа, причем a.

    Действительно, к последнему неравенству можно прийти, если обе части неравенства a3/2 следует неравенство . Здесь нужно подчеркнуть, что для отрицательных a или b при условии a может быть неверным. К примеру, −2 n .

    В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств:

    www.cleverstudents.ru

    интернет проект BeginnerSchool.ru

    Сайт для детей и их родителей

    Числовые равенства и неравенства

    Числовые равенства

    Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=).

    Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным:

    Давайте разберем свойства числовых равенств.

    1. Если числовое равенство верно, то прибавивк обеим частям этого равенства одно и тоже число мы получим верное числовое равенство .

    (12 + 3) = (9 + 6)

    12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15

    Равенство верно, теперь проверим свойство

    (12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)

    15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

    18 = 18

    В обоих случаях равенства верны

    То же самое произойдет, если мы вычтем одно и то же числовое выражение из обеих частей верного числового равенства .

    Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание:

    (12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)

    15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

    12 = 12

    Как мы видим равенство верно.

    1. Если числовое равенство верно, то умножив обе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство .

    Проверим и это свойство:

    (75 – 3) = (15 + 57)

    75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно

    (75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)

    72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576

    576 = 576

    1. Если числовое равенство верно, то разделивобе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство . Правда, это выражение справедливо только если числовое выражение не равно нулю, так как на ноль делить нельзя .

    Проверим это свойство:

    (12 + 3) : (5 – 2) = (9 + 6) : (5 – 2)

    15 : 3 = 15 : 3

    5 = 5

    Что и требовалось доказать.

    Числовые неравенства

    Если одно числовое выражение не равно другому, то сравним оба выражения поставим между ними знак сравнения – больше (>) или меньше ( 10 – это неравенство неверно

    (25 – 5) : 5

    beginnerschool.ru

    Числовые неравенства и их свойства

    С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

    Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

    Числовые неравенства: определение, примеры

    При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , , > , ≤ , ≥ . Дадим определение.

    Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

    Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 ( 2 ) , ln 0 . 73 — 17 2 0 .

    Свойства числовых неравенств

    Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

    • число a больше b , когда разность a — b – положительное число;
    • число a меньше b , когда разность a — b – отрицательное число;
    • число a равно b , когда разность a — b равняется нулю.

    Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

    • a больше или равно b , когда a — b является неотрицательным числом;
    • a меньше или равно b , когда a — b является неположительным числом.

    Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

    Основные свойства

    Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков и > характерно при свойствах:

    • антирефлексивности, которое говорит о том, что любое число a из неравенств a a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a − a = 0 , отсюда получаем, что а = а . Значит, a a и a > a неверно. Например, 3 3 и — 4 14 15 > — 4 14 15 являются неверными.
    • ассиметричности. Когда числа a и b являются такими, что a b , то b > a , и если a > b , то b a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − ( a − b ) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b > a . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.

    Например, при заданном неравенстве 5 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 − 0 , 27 .

    Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.

    • транзитивности. Когда числа a , b , c соответствуют условию a b и b c , тогда a c , и если a > b и b > c , тогда a > c .

    Первое утверждение можно доказать. Условие a b и b c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а — с представляется в виде ( a − b ) + ( b − c ) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а — с является отрицательным числом, а значит, что a c . Что и требовалось доказать.

    Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

    Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 5 и 5 8 . Отсюда имеем, что − 1 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 .

    Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а . им присуща ассиметричность и транзитивность.

    Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства:

    • рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются верными неравенствами;
    • антисимметричности, когда a ≤ b , тогда b ≥ a , и если a ≥ b , тогда b ≤ a .
    • транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c , тогда a ≤ c , а также, если a ≥ b и b ≥ c , то тогда a ≥ c .

    Доказательство производится аналогичным образом.

    Другие важные свойства числовых неравенств

    Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

    Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a b и c являются любыми числами, то a + c b + c . Справедливыми окажутся свойства:

    • если a > b , то a + c > b + c ;
    • если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
    • если a ≥ b , то a + c ≥ b + c .

    Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

    Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c b + c .

    Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a b . Тогда ( a + c ) − ( b + c ) = a + c − b − c = a − b . Из условия a b получим, что a − b 0 . Значит, ( a + c ) − ( b + c ) 0 , откуда a + c b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с .

    К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 .

    Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a b и c являются положительными числами, то a· c b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c .

    Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = ( a − b ) · c . Из условия a b , то a − b 0 , а c > 0 , тогда произведение ( a − b ) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c 0 , где a · c b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

    При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.

    Разрешено обе части неравенства 4 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 6 · 0 , 5 , где − 2 3 . Когда обе части делим на — 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный . отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8 : ( − 4 ) ≥ 12 : ( − 4 ) , где 2 ≥ − 3 .

    Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

    • Следствие 1.При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a b , как − a > − b . Это соответствует правилу умножения обеих частей на — 1 . Оно применимо для перехода. Например, − 6 − 2 , то 6 > 2 .
    • Следствие 2.При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a b , 1 a > 1 b .

    При делении обеих частей неравенства a b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным.

    Например, − 2 3 , однако, — 1 2 > 1 3 являются неверным равенством.

    Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.

    Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a b и c d , тогда верным считается a + c b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

    Докажем, что ( a + c ) − ( b + d ) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c b + d . Из условия имеем, что a b и c d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a b на число b , при c d , получим неравенства вида a + c b + c и b + c b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

    Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n , можно доказать метод математической индукции , получив a 1 + a 2 + … + a n b 1 + b 2 + … + b n .

    Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 − 2 , − 1 12 и 3 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + ( − 1 ) + 3 − 2 + 12 + 4 является верным.

    Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a b и c d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c b · d считается справедливым.

    Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a b умножить на число с , а обе части c d на b . В итоге получим, что неравенства a · c b · c и b · c b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c b · d .

    Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n являются положительные числами, где a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n , то a 1 · a 2 · … · a n b 1 · b 2 · … · b n .

    Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

    К примеру, неравенство 1 3 и − 5 − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · ( − 5 ) 3 · ( − 4 ) , считается, что − 5 − 12 это является неверным неравенством.

    Следствие: Почленное умножение неравенств a b с положительными с a и b , причем получается a n b n .

    Свойства числовых неравенств

    Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств.

    1. a a , a > a — неверные неравенства,
      a ≤ a , a ≥ a — верные неравенства.
    2. Если a b , то b > a — антисимметричность.
    3. Если a b и b c то a c — транзитивность.
    4. Если a b и c — любоое число, то a + b b + c .
    5. Если a b и c — положительное число, то a · c b · c ,
      Если a b и c — отрицательное число, то a · c > b · c .

    Следствие 1: если a b , то — a > — b .

    Следствие 2: если a и b — положительные числа и a b , то 1 a > 1 b .

    1. Если a 1 b 1 , a 2 b 2 , . . . , a n b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n b 1 + b 2 + . . . + b n .
    2. Если a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n — положительные числа и a 1 b 1 , a 2 b 2 , . . . , a n b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n b 1 · b 2 · . . . b n .

    Cледствие 1: если a b , a и b — положительные числа, то a n b n .

    www.zaochnik.com

    Правило числовые неравенства

    Свойства числовых неравенств

    Продолжим изучение свойств действительных чисел, начатое в главе 5. Там мы отмечали, что над действительными числами производятся различные арифметические операции, при этом используются свойства таких операций. Знание этих свойств помогало нам выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения.

    Там же, в главе 5, мы ввели понятие числового неравенства: а> b — это значит, что а — b — положительное число; а b и b> с, то а> с.

    Доказательство. По условию, а > b, т. е. а — b — положительное число. Аналогично, так как b > с, делаем вывод, что b — с — положительное число.

    Сложив положительные числа а — b и b — с, получим положительное число. Имеем (а — b) + (b — с) — а — с. Значит, а- с — положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.

    Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т. е. числовую прямую. Неравенство а> b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка о расположена на прямой правее точки с, т. е. а> с.

    Свойство 1 обычно называют свой ством транзитивности (образно с говоря, от пункта а мы добираемся до Рис. 115 пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

    Свойство 2. Если а>b, то а + с>Ь + с.

    Свойство 3. Если а>b и m> О, то от > bm; если а>b и m ,> на b на — 1, получим — а b, то — а b и c> d, то а + с > b + d.

    Доказательство.
    I способ. По условию, а > b и с > d, значит, а — b и с — d — положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а — b) + (с — d) — положительное число. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) — (b + d) — положительное число. Поэтому a + c>b + d.

    II способ. Так как а > Ь, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
    Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.

    Замечание 1. Мы привели два способа доказательства для того, чтобы вы сами выбрали тот из них, который вам больше понравился или более понятен.

    Кроме того, вообще полезно знакомиться с различными обоснованиями одного и того же факта.

    Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bc. Аналогично, так как с > d и b > o, то cb > db. Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.

    Обычно неравенства вида а > b, с > d (или а b и с b, то а n > Ь n , где n — любое натуральное число.

    Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

    Дополнение к свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла а n > b n .

    Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств: например, так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве упражнения попробовать восполнить этот пробел). Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1. Пусть а и b — положительные числа и а > b.
    Доказать, что

    Рассмотрим разность . Имеем
    По условию, а, b, а — b — положительные числа. Значит, — отрицательное число, т.е. —, откуда следует, что
    Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что
    Решение.


    Получили неотрицательное число, значит,
    Заметим, что

    Пример 3. Пусть а и b неотрицательные числа.
    Доказать, что

    Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

    Число называют средним арифметическим чисел а и b число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

    Замечание 2. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

    (так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана, проведенная к гипотенузе (т. е. ), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ), — очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.

    Пример 4. Сравнить числа:

    а) Поставим между сравниваемыми числами знак (или = , если окажется, что числа равны).

    Итак, мы считаем, что • Тогда, согласно свойству 6, , т. е. 5 (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,что • Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,получим

    Воспользовавшись свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим

    Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1 — Зb > — 3 • 3,8, т. е. — 11,4 b > с мы перешли к более употребительной записи с

    в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим

    г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 — b > — 3,8, т. е. — 3,8 2 2 2 , т. е. 4,41 2 3 3 3 , т. е. 50,653 3

    edufuture.biz

    Свойства числовых неравенств

    • Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
    • Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x — 3 > 0 x — 3 + 8 > 0 + 8)
    • Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;

    Если a > b и m ”, знак “>” на “ b на -1, получим: -a b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)

  • Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)
  • Линейные неравенства

    Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

    Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 0

    где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

    Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:

    1) Если b > 0, то x может быть любое число (Ответ: )

    Решение. Руководствуясь правилом 2, умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения. Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

    5x + 3(2x — 1) > 30x — 1

    5x + 6x — 3 > 30x — 1

    Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

    Наконец, применив правило 3, получим:

    Ответ: (-∞, ).

    Решить неравенство

    3x + 2 > 2(x + 3) + x

    Решение.

    Раскроем скобки во второй части неравенства:

    3x + 2 > 2x + 6 + x

    Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

    3x — 2x — x > 6 — 2

    Ответ:

    Пример 4:

    Решить неравенство

    2(x — 1) + 3 > 2x — 5

    Решение.

    Раскроем скобки во второй части неравенства:

    2x — 2 + 3 > 2x — 5

    Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

    2x — 2x > 2 — 5 — 3

    Получаем верное неравенство.

    В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.

    Ответом является вся числовая прямая.

    Ответ:

    В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.

    Математика. Другие материалы

    Возведение числа в рациональную степень. (Автор: Покотило Екатерина)

    Возведение числа в натуральную степень. (Автор: Покотило Екатерина)

    Методы вычисления степенных выражений. (Автор: Покотило Екатерина)

    Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

    Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

    Проверь себя по теме ‘Линейные неравенства’

    ya-znau.ru

    Смотрите так же:

    • Новый закон об осмд Новый закон: угрозы для собственников квартир “С 1 июля 2015 вступил в силу Закон Украины« Об особенностях осуществления права собственности в многоквартирном доме »(№ 417-viii) Этот закон несет угрозы для владельцев квартир в […]
    • Правила проведения внешнего государственного финансового контроля Правила проведения внешнего государственного финансового контроля Нормативное постановление от 30 ноября 2015 года № 17-НҚ Об утверждении Правил проведения внешнего государственного аудита и финансового контроля В соответствии с […]
    • Отдел по гражданству и миграции в гомеле Отделения по гражданству и миграции Управление по гражданству и миграции УВД Гомельского облисполкома 246017, г. Гомель, пр-т Ленина, 45″А” (0232) 71-09-83 Отделение по гражданству и миграции ОВД Центрального РОВД г. Гомеля 246002, г. […]
    • Законы сложения 2 Законы сложения чисел Переместительный закон сложения Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится. Это можно легко проверить, посчитав количество звёздочек, представленных на рисунке: Можно сначала посчитать зелёные звёздочки, […]
    • Налог на доходы с продажи акций Налог на доходы с продажи акций Есть правда ограничение — максимальная сумма освобождаемых от налога доходов рассчитывается по формуле: количество лет * 3 млн. рублей. То есть после 3-х лет владения акциями вы сможете освободить от НДФЛ 9 […]
    • Электропогрузчик учебное пособие Интернет-магазин "Хистори-Маркет" Учебное пособие «Водитель электропогрузчика» Автор: Алексеев А.В. Подписано в печать 01.06.2014 Формат 60х90/16. Усл. печ. л. 13.5. Тираж 500 экз. 145 стр. Издательство: ООО «Хистори оф Пипл» 150014, […]

    Обсуждение закрыто.