Правила об окружности

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки ( секущая).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружностиC радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2 R.

Площадь Sкруга радиуса R вычисляется по формуле:

S = R 2 .

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

Площадь Sсектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

S = R 2 .

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = ,

где S — площадь треугольника, а полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

R = ,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    + = + = 180°;

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    a + c = b + d;

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    www.univer.omsk.su

    Окружность и круг

    Окружность и круг — геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. Окружность есть граничная ломаная линия (кривая) круга,

    Определение. Окружность — замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

    Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

    Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами , сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром . Диаметр состоит из двух радиусов, лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D).

    Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам.

    Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

    Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

    • Примеры
    • Дано: d = 100 см.
    • Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
    • Дано: d = 25 мм.
    • Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

    Секущая окружности и дуга окружности

    Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги . Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

    Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

    Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

    Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше — большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой, уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

    Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

    Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

    Так как круг — это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

    Правило. Площадь круга (S) равна произведению квадрата радиуса ( r 2 ) на число ¶.

    • Примеры
    • Дано: r = 100 см
    • Площадь круга:
    • S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
    • Дано: d = 50 мм
    • Площадь круга:
    • S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

    Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами. Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности.

    Определение. Сектор — это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги. Сектор, образованный радиусами, расположенными под углом в 90° называется квадрантом.

    Площадь сектора составляет только часть площади круга, и ее величина пропорциональна длине дуги m или зависит от величины центрального угла a, образованного двумя радиусами с вершиной в центре круга.

    Формула для вычисления площади сектора:

    где S — площадь сектора; m — длина дуги; r — радиус круга; а — угловая величина дуги (и градусах).

    shkolo.ru

    Правила об окружности

    Окружность и ее элементы

    Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

    Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

    Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

    Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.

    Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

    Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.

    Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

    Длина окружности: , — радиус окружности, — диаметр.

    Длина дуги окружности: , — радианная мера дуги, — градусная мера.

    Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

    Площадь круга: .

    Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

    Площадь сектора: .

    Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

    Площадь сегмента: (или , если центр круга лежит внутри сегмента).

    Свойства вписанных углов

    • Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .
    • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
    • Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
    • Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.

    Углы, связанные с окружностью

    Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

    Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: .

    Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

    Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

    Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: .

    Отрезки, связанные с окружностью

    Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны: , центр окружности лежит на биссектрисе угла .

    Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

    Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] и равна разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки до центра окружности.

    Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

    Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов): [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

    Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: .

    Окружность, вписанная в многоугольник

    Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

    Теоремы:

    • Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис (если она биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке).
    • В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
    • Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
    • Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.

    • Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: , .

    Окружность, описанная около четырехугольника

    Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

    Теоремы:

    • Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
    • В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна .
    • Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.

    Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон.

    Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру p: .

    Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его периметр пополам: .

    Следствие: , .

    Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле: .

    Теорема. Площадь треугольника, можно вычислить по формуле: , где — радиус вписанной окружности; — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a; — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне b; — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне с.

    www.fmclass.ru

    Длина окружности

    Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку « O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

    Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.

    • (·)O — называется центром окружности.
    • Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности. Радиус окружности обозначается буквой « R ». На рисунке выше — это отрезок « OA ».
    • Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр, называется диаметром окружности.

    Диаметр окружности обозначается буквой « D ». На рисунке выше — это отрезок « BC ».

    На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому справедливо выражение « D = 2R ».

    Число π и длина окружности

    Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.

    В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

    Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).
    π ≈ 3,14…

    Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам для наших вычислений достаточно использовать значение π ,
    округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…

    Теперь, зная, что такое число π , мы можем записать формулу длины окружности.

    Длина окружности — это произведение числа π и диаметра окружности. Длина окружности обозначается буквой « С » (читается как «Це»).
    C = π D
    C = 2 π R , так как D = 2R

    Как найти длину окружности

    Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

    Виленкин 6 класс. Номер 831

    Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

    Воспользуемся формулой длины окружности:

    C = 2 π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

    Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.

    Виленкин 6 класс. Номер 835

    Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. ( π ≈ 3,14 ).

    Выразим из формулы длины окружности диаметр.

    Хорда и дуга окружности

    На рисунке ниже отметим на окружности две точки « A » и « B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга « AB » и черная дуга « AB ». Точки « A » и « B » называют концами дуг.

    Соединим точки « A » и « B » отрезком. Полученный отрезок называют хордой.

    Точки « A » и « B » делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга « AB ».

    Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.

    math-prosto.ru

    18. Окружность и круг. Правила

    Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .
    Центр окружности обозначают буквой O.

    Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом. (Наведите курсор на рисунок.)

    Точка O — это центр и круга и окружности.


    Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

    Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке.

    BC = OC + OB , так как BC = D а OC = OB = R , то

    Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг.

    Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками.

    На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую и зеленую.

    Записать их названия мы можем так:

    BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой;

    BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге.

    Задачи на тему «Окружность и круг»

    1) Точки C, B и E не принадлежат кругу.

    2) Точки D, B и O принадлежат окружности.

    3) Точки A, B и O принадлежат кругу. Неверно. Точка B принадлежат кругу, так как окружность часть круга. Неверно. Точка O центр окружности, но не лежит на ней. 1) Точка О является центром и окружности, и круга.

    2) Точка О является центром окружности, но не центром круга.

    3) Точки D и B не принадлежат окружности. 1) Точки B и D не принадлежат кругу.

    2) Точки A, B, D и O принадлежат кругу.

    3) Точки B, D и E принадлежат кругу. Неверно. Точка О является центром и окружности, и круга. Неверно. Точки D и B принадлежат окружности. Неверно. Точки B и D принадлежат кругу, так как лежат на окружности, а она часть круга. 1) Точки B и D разделяют окружность на 4 дуги.

    2) Точки B и D разделяют окружность на 3 дуги.

    3) Точки B и D разделяют окружность на 2 дуги. Неверно. Точка E не принадлежат кругу, так как находится за его пределами. Неверно. Точки B и D разделяют окружность на 2 дуги. Неверно. Точки B и D разделяют окружность на 2 дуги. Нeвeрнo. Задание выполнено.

    На рисунке построено две окружности,

    первая с центром в точке А радиусом r 1 = 3см

    и вторая с центром в точке B радиусом r 2 = 5см.

    Они пересеклись в точках E и C.

    Найдите длины отрезков AE и BC, если AB = 7см.

    school-assistant.ru

    Смотрите так же:

    • Увольнение по сокращению и биржа труда Если вас сократили Внимание граждан, увольняемых из организаций по причине ликвидации организации либо сокращению численности или штата работников! Бланки необходимых документов: Справка о средней заработной плате. Памятка "О […]
    • Платёжное поручение транспортный налог 2018 Платежное поручение по транспортному налогу Актуально на: 23 марта 2017 г. ​Платежное поручение по транспортному налогу(образец) Требования к заполнению платежного поручения по транспортному налогу ничем не отличаются от требований, […]
    • Закон кирхгофа спектральная плотность Закон Кирхгофа Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной […]
    • Нотариус на космонавтов в ростове на дону Город Ростов на Дону входит в число городов-миллионеров на территории России. Как правило, численность крупных городов России напрямую связана с их географическим положением, определившим и дальнейшее политическое и экономическое […]
    • Описание экспоненциального закона распределения Теоретический материал по модулям "Теория вероятности и математическая статистика" 1.12.6. Экспоненциальное (показательное) распределение Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону спараметром . Если ее плотность […]
    • Азов нотариус Город Ростов на Дону входит в число городов-миллионеров на территории России. Как правило, численность крупных городов России напрямую связана с их географическим положением, определившим и дальнейшее политическое и экономическое […]

    Обсуждение закрыто.