Описание экспоненциального закона распределения

Оглавление:

Теоретический материал по модулям «Теория вероятности и математическая статистика»

1.12.6. Экспоненциальное (показательное) распределение

Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону спараметром . Если ее плотность распределения вероятностей задается формулой:

(1.12.12)

Функция распределения показательного закона:

(1.12.13)

Типичные примеры, где реализуется экспоненциальное распределение – теория обслуживания, при этом X — например, время ожидания при техническом обслуживании, и теория надежности, здесь X — например, срок службы радиоэлектронной аппаратуры.

Показательное распределение тесно связано с простейшим (пуассоновским) потоком событий (см. п. 1.12.2): интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:

(t > 0).

Основные характеристики показательного распределения:

(1.12.14)

ПРИМЕР 7. Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина T , имеющая показательное распределение с параметром l = 5 (физический смысл величины l — среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время t. Найти при этих условиях плотность и функцию распределения времени, которое проработает ЭВМ после момента t до ближайшего отказа.

Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от t до t + t не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t. Следовательно, подставив
l = 5 в соотношение (1.12.12) и в (1.12.13), получим:

.

.

Графики плотности и функции полученного показательного распределения изображены на рис. 1.12.6.

edu.tltsu.ru

Экспоненциальное распределение и его свойства

Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.

Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.

Мы говорим, что случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если

(0)

Пусть – время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.

Параметр λ оценивается на основе реальных данных.

Плотность экспоненциального распределения имеет вид

, (1)

где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.

Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.

Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.

Среднее значение равно

Дисперсия равна

Из формулы (0) следует:

Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше , равна

Основные свойства экспоненциального распределения

Свойство отсутствия последействия:

Пусть — экспоненциальная случайная величина с плотностью вида (1).

Тогда (2)

при всех x≥0 и t≥0.

Равенство (2) означает следующее.

Пусть некоторая элементарная операция (например, телефонный разговор) имеет случайную длительность с экспоненциальным распределением.

Пусть, далее, известно, что до момента данная операция продолжалась в течение t единиц времени.

Тогда остаток от момента до момента окончания операции имеет экспоненциальное распределение с параметром λ независимо от t.

Это важнейшее свойство экспоненциального распределения называется отсутствием последействия.

Отсутствие последействия называется также Марковским свойством.

Именно в силу этого свойства экспоненциальные модели имеют довольно простое аналитическое решение.

При малых положительных h: (3)

Действительно, по формуле Тейлора имеем:

.

Равенство (3) можно объяснить так.

Пусть в момент длится некоторая операция, имеющая случайную длительность с плотностью задаваемой формулой (1).

Тогда вероятность окончания данной операции в данном интервале ( t0, t0+h) равна .

Пусть в момент длятся n операций.

Рассмотрим случайные величины , где — время от момента до момента окончания i-ой фазы из этих операций, 1≤i≤n.

Если величины независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами , 1≤i≤n, то:

а) имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

б) если известно, что , то не зависимо от t≥0

, (4)

Доказательство

— свойство а) доказано.

В то же время (7)

Подставим выражения (6) и (7) в равенство (5), получим формулу (4).

Таким образом, утверждение б) также доказано.

Пусть выполнены те же условия, что и в формулировке предыдущего свойства.

Обозначим через число операций, которые закончатся в интервале ( t0, t0+h).

, (8)

, (9)

, (10)

, (11)

Доказательство. Событие ( ) эквивалентно событию , откуда

,

т.е. справедливость формулы (8) доказана.

Событие ( ) противоположно событию , откуда

— получена формула (10).

Далее можно записать , откуда

— формула (9) доказана.

Наконец, ,

откуда .

Подставляя в это равенство соотношения (9) и (10), найдем

.

Справедливость формулы (11) так же установлена.

При доказательстве формул дважды использована формула

.

Разумеется, следует проверить несовместимость событий .

В рассмотренных случаях она непосредственно очевидна.

Пусть выполнены условия предыдущего пункта и в момент окончания i-ой операции начинается одна или несколько новых операций, длительности которых независимы между собой, не зависят от ( ) и имеют экспоненциальное распределение.

Тогда если обозначить через общее число операций (длившихся в момент t0 и начавшихся в интервале ( t0, t0+h)), которые закончились до момента t0+h, то справедливы формулы (8) — (11).

Для доказательства, в дополнении к предыдущему, остаточно заметить, что событие ( ) сводится к выполнению одного или конечного числа неравенств вида , где , — независимые экспоненциально распределенные величины.

Имеем ,

где — параметры распределения , . Отсюда же следует что .

Пусть операция начинается в момент t0 и состоит в выполнении некоторой случайной работы , причем темп выполнения работы в момент t равен ά(t), t≥t0 , где ά(t) — интегрируемая неотрицательная функция.

Обозначим через время от момента t0 до момента окончания операции.

Тогда если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром λ, то

(12)

Доказательство

За время от t0 до t0+t может быть выполнено , ед. работы.

Значит, операции закончится за время, меньше t, при условии что .

.

В заключение сделаем замечание и дадим ряд задач для лучшего понимания свойств экспоненциальных величин.

Замечание

В случае дискретного времени аналогом экспоненциальной величины является геометрическая величина (случайная величина, имеющая геометрическое распределение).

Задача 1. Найти распределение максимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 2. Найти распределение минимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 3. Найти распределение суммы k независимых экспоненциальных величин.

statistica.ru

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Содержание

Определение Править

Случайная величина $ X $ имеет экспоненциальное распределение с параметром $ \lambda > 0 $ , если её плотность имеет вид

Иногда семейство экспоненциальных распределений параметризуют обратным параметром $ 1/\lambda $ :

Оба способа одинаково естественны, и необходима лишь договорённость, какой из них используется.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно $ 1/\lambda $ . Сам параметр $ \lambda $ тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины $ X $ задана первым уравнением, и будем писать: $ X \sim \mathrm(\lambda) $ .

Функция распределения Править

Моменты Править

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

откуда получаем все моменты:

Отсутствие памяти Править

Пусть $ X \sim \mathrm(\lambda) $ . Тогда $ \mathbb

(X > s+t \mid X > s) = \mathbb

(X > t) $ .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

ru.math.wikia.com

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

Теория очередей (СМО)

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция. Характеристической функцией случайной величины [math]X[/math] называется математическое ожидание комплексной случайной величины [math]e^[/math] , рассматриваемое как функции параметра [math]s[/math] (здесь и далее в этой части [math]i[/math] – мнимая единица). Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины [math]X[/math] задаётся формулой

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении [math]s[/math] характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

2) характеристическая функция равна единицы при [math]s=0[/math] , то есть [math]g(0)=1[/math] .

Плотность вероятности случайной величины [math]X[/math] можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой. Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины. Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины [math]X[/math] выражается формулой

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки [math]x=a[/math] (точка максимума). При уменьшении [math]\sigma[/math] ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Таким образом, параметры [math]a[/math] и [math]\sigma[/math] в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина [math]X[/math] удовлетворяет неравенству [math]\alpha

Логарифмически нормальное распределение

Говорят, что случайная величина [math]Y[/math] имеет логарифмически нормальное распределение (сокращённо логнормальное распределение ), если её логарифм [math]\ln=X[/math] распределён нормально, то есть если

где величина [math]X[/math] имеет нормальное распределение с параметрами [math]a,\sigma.[/math]

Плотность логнормального распределения задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д. Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина [math]X[/math] имеет гамма-распределение с параметрами 0″>[math]a>0[/math] и 0″>[math]b>0[/math] , если её плотность распределения вероятностей имеет вид

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра 1″>[math]a>1[/math] и [math]a [math]a>1[/math] гамма-распределение имеет моду

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума [math]x=M_o[/math] , рис. 20).

Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами 0″>[math]a=1;

b=\lambda>0[/math] , то есть то есть плотность вероятности в этом случае

Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения [math]F(x)[/math] экспоненциального закона:

Пример 2. Случайная величина [math]X[/math] — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины [math]X[/math] равно 400 ч, следовательно, [math]\lambda=\frac<1><400>[/math] . Искомая вероятность есть

Распределение Вейбула

Случайная величина [math]X[/math] подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами 0″>[math]n\in\mathbb,

b>0[/math] , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Равномерный закон распределения

Случайная величина [math]X[/math] называется распределённой равномерно на отрезке [math][a;b][/math] , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке [math][a;b][/math] ( [math]X[/math] — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной [math]X[/math] , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [math][a;b][/math] , на участок [math](\alpha;\beta)[/math] , представляющий собой часть отрезка [math][a;b][/math] .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

Распределение хи-квадрат [math]\chi^2[/math]

Частный случай гамма-распределения с параметрами [math]a=\frac<2>,

n\in\mathbb[/math] и [math]b=\frac<1><2>[/math] называется распределением хи-квадрат с [math]n[/math] степенями свободы (пишут [math]\chi^2(n)[/math] ). Если случайная величина [math]X[/math] подчиняется закону [math]\chi^2(n)[/math] , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений [math]n[/math] ) изображены на рис. 25.

Случайная величина [math]X=\chi^2(n)[/math] , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов [math]n[/math] независимых случайных величин [math]U_j,

j\in\mathbb[/math] , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть [math]\chi^2(n_1)[/math] и [math]\chi^2(n_2)[/math] — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math] . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с [math]n_1+n_2[/math] степенями свободы:

Заметим, что распределение [math]\chi^2(n)[/math] при больших значениях 30)»>[math]n

(n>30)[/math] с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием [math]n[/math] и дисперсией [math]2n[/math] . Поэтому при больших значениях [math]n[/math] вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение [math]\chi^2(n)[/math] играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].

Распределение Стьюдента

Распределение хи-квадрат Случайная величина [math]T(n)[/math] есть отношение двух независимых случайных величин [math]U[/math] и [math]\sqrt<\frac<\chi^2(n)>>[/math] , то есть

Распределение случайной величины [math]T(n)[/math] называется распределением Стьюдента с [math]n[/math] степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента [math]X=T(n)[/math] , есть

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений [math]n[/math] ) изображены на рис. 26.

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении [math]n[/math] распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера

Пусть случайная величина [math]F(n_1;n_2)[/math] равна отношению двух независимых случайных величин [math]\frac<\chi^2(n_1)>[/math] и [math]\frac<\chi^2(n_2)>[/math] , то есть

Распределение случайной величины [math]F(n_1;n_2)[/math] называется распределением Фишера с [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math] степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, [math]X=F(n_1;n_2)[/math] определяется по формуле

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений [math]n_1,n_2[/math] ) изображены на рис. 27.

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

mathhelpplanet.com

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН НАДЕЖНОСТИ

Основной период эксплуатации обычно характеризуется почти постоянной интенсивностью отказов. В этом периоде отказы происходят от случайных факторов (попадание посторонних предметов, неблагоприятное сочетание внешних факторов, усталостные разрушения и др.) и носят внезапный характер. Время появления отказа не связано с предыдущей наработкой изделия.

При экспоненциальном законе надежности предполагается, что интенсивность отказов является величиной постоянной (рис. 15.2):

(15.2)

Вероятность безотказной работы по уравнению (14.21)

(15.3)

Плотность распределения отказов

(15.4)

Среднее время безотказной работы

(15.5)

Вероятность безотказной работы можно теперь записать в такой форме:

(15.6)

Экспоненциальный закон распределения справедлив для описания потока отказов с постоянной интенсивностью.

Рис. 15.2. Экспоненциальное распределение времени безотказной работы

Понятие потока отказоввводится для восстанавливаемых в процессе эксплуатации изделий.

Для потока отказов величина Tср представляет собой среднюю наработку на один отказ.

Важным свойством экспоненциального закона надежностиявляется то, что он относится к «нестареющим» системам. Для такого закона (и только для него!) прогнозируемая вероятность безотказной работы не зависит от предыдущей наработки

(15.7)

Пример 1. Изделие имеет ресурс 1000 ч и интенсивность отказов λ = 0,1e-3 1/ч (среднее время наработки на отказ Tср = 10 000 ч.).

Определить вероятность безотказной работы первые 10ч и за весь ресурс, считая справедливым экспоненциальный закон надежности.

Решение. Вероятность безотказной работы за первые 10 ч работы

но если известно, что изделие отработало исправно 990 ч, то вероятность отсутствия отказов за последние 10 ч снова будет 0,999.

Рассмотрим определение интенсивности отказов (или средней наработки на отказ) при экспоненциальном распределении. Если известно, что для каждого из n испытуемых изделий время работы до отказа составило t*I, то следует принять

(15.8)

Однако на практике информация о работоспособности изделий относится к определенному времени эксплуатации, в течение которого часть изделий получила отказы, а остальные отработали его исправно. Тогда следует принять для данного времени испытаний

(15.9)

Пример 2. Определить среднюю наработку до отказа для экспоненциального закона надежности, если за время эксплуатации имеются следующие данные — 30 изделий отработали исправно 3000 ч, 10 изделий по 1000 ч, 7 изделий по 1500 ч; сняты три изделия после наработки соответственно 500, 2000 и 2500 ч.

Решение. Суммарное время наработки

(15.10)

Средняя наработка на отказ

(15.11)

Дата добавления: 2017-12-05 ; просмотров: 130 ;

znatock.org

Смотрите так же:

  • Платёжное поручение транспортный налог 2018 Платежное поручение по транспортному налогу Актуально на: 23 марта 2017 г. ​Платежное поручение по транспортному налогу(образец) Требования к заполнению платежного поручения по транспортному налогу ничем не отличаются от требований, […]
  • Контрольная работа 2 закон ома для замкнутой цепи Контрольная работа № 2 «Закон Ома для замкнутой цепи» 1. Определите направление и величину силы тока в резисторе (рис. 1), пренебрегая внутренним сопро­тивлением источников тока. 2. В электрической цепи, приведенной на рисунке 2, сила […]
  • По закону гесса тепловой По закону гесса тепловой 2.7. Теплота реакции. Закон Гесса Разрыв и образование химических связей в ходе реакции сопровождается изменением энергии системы. Разница в энергиях связей в продуктах реакции и исходных веществах составляет […]
  • Пособие по керамике Глина, виды глины Глина — основа гончарного производства, глинозем -значительная часть химического состава глинообразующих минералов (глинозем — природная окись алюминия. — Ред.). В смеси с водой глина образует тестообразную массу, […]
  • Увольнение по сокращению и биржа труда Если вас сократили Внимание граждан, увольняемых из организаций по причине ликвидации организации либо сокращению численности или штата работников! Бланки необходимых документов: Справка о средней заработной плате. Памятка "О […]
  • Закон кирхгофа спектральная плотность Закон Кирхгофа Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной […]

Комментарии запрещены.